Ένα μαθηματικό πρόβλημα στη θεωρία των αριθμών

Έστω  m, n  θετικοί ακέραιοι (φυσικοί) αριθμοί. Θεωρούμε την συμμετρική ποσότητα

        Q(m,n) = Q(n,m) = (m+n)! / m! n!

Θέλουμε να δείξουμε ότι το Q είναι ακέραιος, για κάθε m και n.

Ένας τρόπος να δουλέψουμε είναι να παρατηρήσουμε ότι

        Q(m,n) = (m+1)(m+2)...(m+n) / n!

και να δείξουμε ότι ο αριθμητής είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του παρονομαστή. Θα πρέπει, λ.χ., να αναπτύξουμε αριθμητή και παρονομαστή σε γινόμενα δυνάμεων πρώτων αριθμών και να δείξουμε ότι οι δυνάμεις στον παρονομαστή δεν υπερβαίνουν τις αντίστοιχες στον αριθμητή. Η απόδειξη με αυτό τον τρόπο θα οδηγούσε, ίσως, σε μαθηματικό βραβείο!

Ένας διαφορετικός τρόπος είναι να αποδείξουμε ότι το Q(m,n) είναι πληθικός αριθμός (cardinal number) κάποιου συνόλου, ίσος εξ ορισμού με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Ο αριθμός αυτός είναι, φυσικά, ακέραιος.

Θεωρούμε το σύνολο των διατεταγμένων n-άδων

        S(n, m+n) = { (α₁, α₂, ... , α_n) }

όπου τα  α₁, α₂, ... , α_n  παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές από το σύνολο {1,2,...,m+n}, που ικανοποιούν την ανισότητα  α₁ < α₂ < ... < α_n . Όπως λένε οι φωστήρες της συνδυαστικής ανάλυσης, ο πληθικός αριθμός τού πιο πάνω συνόλου ισούται με

        | S(n, m+n) | = Q(m,n) 

Εναλλακτικά, δοθέντος ότι το Q(m,n) είναι συμμετρικό ως προς τα m και n, μπορούμε να θεωρήσουμε το σύνολο των διατεταγμένων m-άδων

        S(m, m+n) = { (α₁, α₂, ... , α_m) }

όπου τα  α₁, α₂, ... , α_m  παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές από το σύνολο {1,2,...,m+n}, που ικανοποιούν την ανισότητα  α₁ < α₂ < ... < α_m . Τότε, και πάλι, 

        | S(m, m+n) | = Q(m,n) 

    Παράδειγμα: Για m=2 και n=3 έχουμε ότι

Q(2,3) = 5! / 2! 3! = 10 .  Από την άλλη, το σύνολο

S(3,5) = { (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), 

                (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5) }

έχει πληθικό αριθμό  | S(3,5) |=10 .  Ισοδύναμα, για το σύνολο

S(2,5) = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), 

                (3,4), (3,5), (4,5) }

έχουμε και πάλι ότι  | S(2,5) |=10 .

    Συμπέρασμα: Ο αριθμός  Q = (m+n)! / m! n!  είναι ακέραιος και ίσος με

        Q(m,n) = | S(m, m+n) | = | S(n, m+n) | 

Μαθηματικά για φερμιόνια αλλά και... κινηματογράφους!

Θα συζητήσουμε ένα πρόβλημα στη θεωρία πιθανοτήτων, το οποίο συναντάμε στην στατιστική κατανομή φερμιονίων στις κβαντικές καταστάσεις δοσμένης ενέργειας (βλ. [1]). Θα το περιγράψω, όμως, με όρους καθημερινότητας, αφού στην ουσία πρόκειται για όμοιες περιπτώσεις.

Θεωρούμε μία σειρά N καθισμάτων σε έναν κινηματογράφο. Γνωρίζουμε ότι στη σειρά αυτή κάθονται n θεατές (όπου n<N). Όμως, καθώς είναι σκοτεινά, δεν μπορούμε να διακρίνουμε ποιες ακριβώς θέσεις είναι κατειλημμένες. Ερώτηση: Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα κάθισμα, τι πιθανότητα υπάρχει να κάθεται εκεί ένας θεατής;

Κάποιος θα πει ότι, "αυτονόητα", η πιθανότητα να είναι κατειλημμένη η συγκεκριμένη θέση ισούται με P=n/N, δηλαδή ίση με το ποσοστό των καθισμάτων της σειράς που είναι κατειλημμένα. Ακούγεται λογικό, όμως πώς μπορούμε να το αποδείξουμε;

Σύμφωνα με την θεωρία πιθανοτήτων, το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να κατανείμουμε n αντικείμενα σε N θέσεις (όπου κάθε θέση μπορεί να φιλοξενήσει το πολύ ένα αντικείμενο) ισούται με

Q(n, N) = N! / n! (N-n)!   (n<N)

Ζητούμε την πιθανότητα P να είναι κατειλημμένη μία συγκεκριμένη θέση, την οποία επιλέξαμε τυχαία. Προς τον σκοπό αυτό πρέπει να προσδιορίσουμε τον ολικό αριθμό συνδυασμών όπου η θέση αυτή είναι οπωσδήποτε κατειλημμένη. Ο αριθμός αυτός ισούται με το πλήθος των τρόπων με τους οποίους τα υπόλοιπα (n-1) αντικείμενα μπορούν να κατανεμηθούν στις υπόλοιπες (N-1) θέσεις. Το πλήθος αυτό ισούται με 

Q(n-1, N-1) = (N-1)! / (n-1)! [(N-1)-(n-1)]! = (N-1)! / (n-1)! (N-n)!

Τότε, 

P = [αριθμός κατανομών με την θέση κατειλημμένη] / [ολικός αριθμός όλων των δυνατών κατανομών]  =>

P = Q(n-1, N-1) / Q(n, N) = [n! / (n-1)!] [(N-1)! / N!] = n.(1/N)  =>

P = n/N = ποσοστό θέσεων που είναι κατειλημμένες. QED!

  [1] The physical meaning of Fermi-Dirac statistics

Τα πολλά πρόσωπα της εκθετικής συνάρτησης!

Χρησιμοποιούμε συχνά την εκθετική συνάρτηση exp(x)=e^x στις εφαρμοσμένες επιστήμες. Αν το x είναι ρητός αριθμός (π.χ., 3/2) δεν υπάρχει πρόβλημα στο να υψώσουμε το e στη δύναμη x. Όμως, πώς υψώνουμε το e (και κάθε θετικό πραγματικό αριθμό, γενικότερα) σε μία άρρητη δύναμη (που δεν είναι, δηλαδή, της μορφής m/n, όπου m, n ακέραιοι αριθμοί);

Όμως, υπάρχουν και άλλα ερωτήματα:

    1. Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται με διάφορους τρόπους που, φαινομενικά, σε τίποτα δεν μοιάζουν μεταξύ τους:

    - Σαν την αντίστροφη της λογαριθμικής συνάρτησης ln(x).

    - Σαν το όριο μιας άπειρης ακολουθίας.

    - Σαν άπειρη δυναμοσειρά.

    - Σαν τη μόνη συνάρτηση που ισούται (ή, γενικότερα, είναι ανάλογη) με την παράγωγό της.

Γιατί οι ορισμοί αυτοί είναι ισοδύναμοι (δηλαδή, εκφράζουν την ίδια συνάρτηση);

    2. Είναι οι συναρτήσεις {exp(kx)} γραμμικά ανεξάρτητες για διαφορετικές πραγματικές τιμές τού k; Αν ναι, πώς μπορούμε να το αποδείξουμε;

Για απαντήσεις στα πιο πάνω ερωτήματα, δείτε το παρακάτω παιδαγωγικό άρθρο:

    The many faces of the exponential function

Διαλεκτική: Από τη Φιλοσοφία ως την Φυσικομαθηματική Επιστήμη

Πώς μέσω της Διαλεκτικής τα καταρχήν αντίθετα καθίστανται συμπληρωματικά. Από τη φιλοσοφία ως τα μαθηματικά, κι από τον Hegel και τον Maxwell ως τον Schrödinger, τον Βάγκνερ και τον Λιαντίνη...

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

    Διαλεκτική: Από τον Ηράκλειτο στον Hegel

Σύμφωνα με τον Ίωνα φιλόσοφο Ηράκλειτο (544 - 484 π.Χ.), πίσω από κάθε έκφανση του γίγνεσθαι στο Σύμπαν υπάρχει η εξ αντιθέτων σύσταση και εκ του πολέμου μεταξύ των αντιθέτων διάλυση των πάντων. Αυτό αποτελεί τη βάση της διαλεκτικής αρχής, η οποία διέπει την εξέλιξη κάθε πράγματος στον κόσμο.

Στον Πλάτωνα - φύσει πιο φωτεινό πνεύμα από τον "σκοτεινό" Ηράκλειτο - η (κατά βάση σωκρατική) Διαλεκτική αποκτά διαφορετικό νόημα: είναι η τέχνη τού διαλέγεσθαι, δηλαδή, ο τρόπος να φτάνουμε στην αλήθεια μέσω της σύγκρουσης αντίθετων απόψεων.

Ο Hegel (1770 - 1831) εξελίσσει τις ιδέες του Ηράκλειτου κατά δύο τρόπους: (α) τον απασχολούν οι ιδέες εξίσου με τα φαινόμενα, και (β) σπάζει το απόλυτο δίπολο θέσης - αντίθεσης προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο, αυτό της σύνθεσης. Σύμφωνα με την διαλεκτική αρχή τού Hegel, η εξελικτική πορεία όλων των πραγμάτων και όλων των ιδεών βασίζεται στο τρίπτυχο "θέση - αντίθεση - σύνθεση" ή "κατάφαση - αντίφαση - συμφωνία". Με γενικότερους όρους, "Είναι - Μη είναι - Γίγνεσθαι". Η ουσία της πραγματικότητας συνίσταται μεν στην αντίθεση αλλά εμπεριέχει τη συμφωνία, τη συνδιαλλαγή. Έτσι, μέσα από τη σύνθεση των αντιθέσεων αναζητείται ένα ανώτερο επίπεδο αλήθειας.

Ας δούμε τις ιδέες του Hegel λίγο αναλυτικότερα:

Μία ιδέα δεν είναι ένα πράγμα απόλυτο και στατικό, αλλά αντιπροσωπεύει μια ομάδα σχέσεων. Μπορούμε να σκεφτούμε για κάτι μόνο σε συσχετισμό με κάτι άλλο, αντιλαμβανόμενοι τις ομοιότητες και τις διαφορές τους. Μία ιδέα χωρίς κάποιου είδους σχέσεις είναι κενή περιεχομένου.

Από όλες τις σχέσεις, η πλέον οικουμενική είναι εκείνη της αντίθεσης. Κάθε ιδέα, όπως και κάθε πραγματική κατάσταση, κατευθύνει αυτόματα προς το αντίθετό της και, στη συνέχεια, ενώνεται με αυτό για να σχηματίσουν μία ανώτερη και πιο σύνθετη δομή. Αυτή είναι η διαλεκτική αρχή στην οποία βασίζεται κάθε μορφή εξέλιξης ιδεών και πραγμάτων.

Έτσι, για παράδειγμα, ύλη και πνεύμα, καλό και κακό, κλπ., "διαλέγονται" μεταξύ τους και τελικά συντίθενται σε μία ανώτερη ύπαρξη: τον Άνθρωπο. Με όμοιο τρόπο, Λογική και Μεταφυσική, που εκπροσωπούν δύο καταρχήν αντίθετες φιλοσοφικές σχολές, οριοθετούνται και "συμφιλιώνονται" στην κριτική φιλοσοφία του Καντ.

Σύμφωνα με την παραπάνω θεώρηση, κύρια αποστολή της Φιλοσοφίας είναι η αναζήτηση της ενότητας που εν δυνάμει υπάρχει στη διαφορετικότητα. Αλλά κι η Επιστήμη έχει έναν σημαντικό ρόλο να παίξει...

    Η Διαλεκτική στα Μαθηματικά

Με βάση τη συζήτηση που προηγήθηκε, στο ανώτερο επίπεδο μίας διαλεκτικής σύνθεσης τα καταρχήν ασύμβατα μεταξύ τους καθίστανται συμπληρωματικά. Στα μαθηματικά, η σύνθεση αυτή εκφράζεται συμβολικά με τη γενική σχέση:

    Α * Β = Γ     (1)

όπου τα Α, Β, Γ είναι μαθηματικές έννοιες ή μαθηματικά αντικείμενα, και όπου η σύνθεση (*) των Α και Β μπορεί να είναι μία τυπική πράξη (π.χ., πρόσθεση) ή ένας λογικός σύνδεσμος (π.χ., διάζευξη). Το σύμβολο (=) μπορεί, αντίστοιχα, να δηλώνει μία τυπική ισότητα ή μια λογική ισοδυναμία. Εξ ορισμού, η σχέση Α=Β (ως ισότητα ή ως ισοδυναμία) είναι αδύνατη. Τα Α και Β ανήκουν σε "κόσμους" ασύμβατους μεταξύ τους, οι οποίοι μέσω της σύνθεσης (*) καθίστανται συμπληρωματικοί.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Αν τα Α και Β στη σχέση (1) συμβολίζουν τις έννοιες "άρτιος αριθμός" και "περιττός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "ακέραιος αριθμός" (πράγματι, ένας ακέραιος είναι είτε άρτιος είτε περιττός). Δηλαδή, η έννοια "ακέραιος" αποτελεί σύνθεση των αντίθετων, μεταξύ τους, εννοιών "άρτιος" και "περιττός". Με όμοιο τρόπο, αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "ρητός αριθμός" και "άρρητος αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει και πάλι διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "πραγματικός αριθμός".

2. Αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "πραγματικός αριθμός" και "φανταστικός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) είναι τυπική πρόσθεση, τότε το Γ σημαίνει "μιγαδικός αριθμός". Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τη γνωστή σχέση x+iy=z, όπου τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί ενώ το z είναι μιγαδικός.

3. Μία αυθαίρετη συνάρτηση F(x), που δεν είναι είτε άρτια είτε περιττή, φέρει μέσα της και τις δύο αυτές αντίθετες ιδιότητες [οι οποίες αντιστοιχούν στις έννοιες Α και Β της σχέσης (1)], αφού μπορεί πάντα να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Όμοια, κάθε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα.

4. Πάνω σε ένα επίπεδο, κάθε διάνυσμα V μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο διανυσμάτων κάθετων μεταξύ τους (συνιστώσες τού V). Η καθετότητα μεταξύ των δύο συνιστωσών είναι μία μορφή ασυμβατότητας, με την έννοια ότι δεν υφίσταται μη-μηδενική προβολή της μίας συνιστώσας πάνω στην άλλη.

5. Κάθε διανυσματικό πεδίο V(x,y,z) στον χώρο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός αστρόβιλου και ενός σωληνωτού πεδίου. Τόσο από φυσική, όσο και από γεωμετρική άποψη, οι δύο αυτοί τύποι πεδίου έχουν αντίθετες ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι δυναμικές γραμμές ενός αστρόβιλου πεδίου είναι ανοιχτές (έχουν αρχή και τέλος), ενώ εκείνες ενός σωληνωτού είναι κλειστές. Από φυσική άποψη, ένα σωληνωτό πεδίο δεν μπορεί να έχει μεμονωμένες σημειακές πηγές (πόλους), ενώ ένα αστρόβιλο πεδίο μπορεί να έχει.

    Διαλεκτική και Φυσικές επιστήμες

Η μέσω της σύνθεσης ενοποίηση των αντιθέτων βρίσκει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Όπως πρώτος παρατήρησε ο Αϊνστάιν, το φως συμπεριφέρεται άλλοτε ως σωματίδιο (φωτόνιο) και άλλοτε ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, η έννοια "φως" συντίθεται από δύο ασύμβατες μεταξύ τους φυσικές έννοιες: "σωματίδιο" και "κύμα", όπου η πρώτη περιγράφει διακριτή ποσότητα ενέργειας εντοπισμένης στον χώρο, ενώ η δεύτερη αναφέρεται σε ενέργεια που κατανέμεται στον χώρο με τρόπο συνεχή. Επί πλέον, σύμφωνα με την κβαντομηχανική, και τα ίδια τα σωματίδια της ύλης (όπως, π.χ., το ηλεκτρόνιο) υπό κατάλληλες συνθήκες εμφανίζουν κυματικές ιδιότητες!

2. Η "θεωρία ενοποιημένου πεδίου" επιχειρεί να συνενώσει φαινομενικά διαφορετικά μεταξύ τους πεδία δυνάμεων ώστε να οριστούν γενικότερα και πιο σύνθετα πεδία [1]. Ήδη τον 19ο αιώνα ο James Clerk Maxwell ανακάλυψε ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αποτελούν απλά δύο όψεις ενός πιο σύνθετου πεδίου, του ηλεκτρομαγνητικού. Τον 20ό αιώνα δύο ακόμα πεδία, αυτά της ασθενούς και της ισχυρής δύναμης, εντάχθηκαν στο σχέδιο της ενοποίησης, ενώ συνεχίζονται οι προσπάθειες για να μπει στην "παρέα" και η δύστροπη βαρύτητα.

3. Στον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων και υψηλών ενεργειών, θεωρίες όπως η υπερσυμμετρία επιχειρούν να αναδείξουν την κρυμμένη ενότητα ανάμεσα στα μποζόνια και τα φερμιόνια, τα οποία αποτελούν δύο κατηγορίες σωματίων που οι συλλογικές συμπεριφορές τους δείχνουν εκ διαμέτρου αντίθετες στον κόσμο των χαμηλών ενεργειών όπου ζούμε. Τα μποζόνια - όπως, π.χ., το φωτόνιο - είναι πολύ "κοινωνικά", ενώ τα φερμιόνια - όπως το ηλεκτρόνιο - έχουν την τάση να είναι "μονήρη".

4. Η περίφημη "γάτα του Schrödinger", ένα νοητικό πείραμα για την κβαντική υπέρθεση, φτάνει στο σημείο να συνθέσει διαλεκτικά τη ζωή με τον θάνατο. Με τεχνικούς όρους, η κβαντική κατάσταση της γάτας είναι γραμμικός συνδυασμός δύο επιμέρους καταστάσεων που αντιστοιχούν στις πιθανότητες η γάτα να είναι ζωντανή ή νεκρή. Η σύνθεσή τους, λοιπόν, επιτρέπει στη γάτα να είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή! Βέβαια, αυτό ισχύει όσο δεν παρατηρούμε τη γάτα. Με το που θα κοιτάξουμε, η αλλόκοτη αυτή μαθηματική σύνθεση θα καταρρεύσει στη μία ή την άλλη συνιστώσα της, και η μοίρα της γάτας θα είναι πλέον απόλυτα προσδιορισμένη...

    Επιστήμη, Φιλοσοφία και Τέχνη

Στο πλαίσιο μιας συζήτησης με καλό φίλο καθηγητή Φιλοσοφίας, με αντικείμενο μία φημισμένη διάλεξη του Δημήτρη Λιαντίνη [2], είχα επιχειρήσει να χαράξω σαφή όρια ανάμεσα στην Επιστήμη και τη Φιλοσοφία:

Σκοπός της επιστήμης είναι η διερεύνηση των ορίων του αποδείξιμου. Αντίθετα, σκοπός της φιλοσοφίας είναι ο στοχασμός πέραν των ορίων του αποδείξιμου. Ως γνώστης του στοχασμού των φιλοσόφων, ο Λιαντίνης ήταν επιστήμων. Ως στοχαστής ο ίδιος πάνω σε ζητήματα μεταφυσικής, ήταν φιλόσοφος.

Ο φίλος έκανε, τότε, μία ενδιαφέρουσα όσο και κρίσιμη προσθήκη στο σκέλος που αφορά τη φιλοσοφία:

"...ο στοχασμός και πέραν των ορίων του αποδείξιμου!"

Η (φαινομενικά) μικρή λέξη "και" που πρόσθεσε ο φίλος στον ορισμό, κάνει τη μεγάλη διαφορά. Καθιστά πιο δυσδιάκριτα τα όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία, έτσι που κάποιες γνωστικές περιοχές να διεκδικούνται ισότιμα και από τις δύο. Στο τέλος οφείλει να επέλθει συμβιβασμός προς όφελος του ανθρώπινου πνεύματος. Κι αυτό ακριβώς αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη ιδέα της Διαλεκτικής!

Βάζοντας, τώρα, στο κάδρο της συζήτησης και τη Μουσική, αυτό το "και" που συνδέει πράγματα καταρχήν διαφορετικά, με παραπέμπει συνειρμικά στο μαγικό "und" στη δεύτερη πράξη του "Τριστάνου" του Βάγκνερ ("Tristan und Isolde") [3]. Πρόκειται εδώ για έναν σύνδεσμο που η χρήση του, πέραν της αυτονόητης αναφοράς στην ερωτική σχέση των δύο ηρώων, υπονοεί ταυτόχρονα και την διαλεκτική συνύπαρξη φανερά αντίθετων ιδεών στο μουσικό δράμα: Του φωτός με το σκότος, της λογικής με το συναίσθημα, του "πρέπει" με το "θέλω", της κοινωνικής υπόληψης με την προσωπική ευτυχία, του έρωτα με τον θάνατο (ένα αχώριστο δίπολο κατά τον Δ. Λιαντίνη)...

Και, μια και αναφερθήκαμε στη μουσική, να σημειώσω κάτι ιδιαίτερα σημαντικό: Η κορυφαία μουσική φόρμα, η φόρμα σονάτας, με βάση την οποία δομούνται έργα όπως η σονάτα, το κουαρτέτο εγχόρδων και η συμφωνία, έχει στον πυρήνα της τη διαλεκτική σχέση ανάμεσα σε δύο αντίθετα, ως προς τον χαρακτήρα τους, μουσικά θέματα. Τα οποία, μέσω της ανάπτυξης, συντίθενται έτσι ώστε να παραχθεί ένα απόλυτα αρμονικό αποτέλεσμα.

Θα τολμούσα να πω ότι τίποτα δεν αναδεικνύει την ωραιότητα της Φιλοσοφίας όσο η Τέχνη. Και, για κάποιους αιθεροβάμονες ρομαντικούς, ακόμα και η ίδια η Επιστήμη μία μορφή τέχνης (μπορεί να) είναι!

[1] https://www.klik.gr/gr/el/epistimi/o-chigks-ta-aorata-somatidia-kai-i-krummeni-summetria-tis-fusis/

[2] https://www.klik.gr/gr/el/brain-storm/stochasmoi-pano-se-mia-profitiki-dialexi-tou-dimitri-liantini/

[3] https://www.klik.gr/gr/el/brain-storm/to-skotadi-pou-fotizei-tin-alitheia-o-sumbolikos-kosmos-tou-tristanou-2/

KLIK

Νευτώνεια συστήματα σε μία διάσταση

Έχω συλλέξει σε ένα ενιαίο παιδαγωγικό άρθρο όλα όσα εκτέθηκαν αποσπασματικά σε προηγούμενες αναρτήσεις, πάνω στα μονοδιάστατα Νευτώνεια συστήματα. Ας συνοψίσουμε μερικά βασικά συμπεράσματα:

1. Ένα μονοδιάστατο σύστημα είναι συντηρητικό αν η ολική δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι συνάρτηση της θέσης x και μόνο - δηλαδή, είναι της μορφής F(x) (ειδικά, η F δεν εξαρτάται από τον χρόνο t ή την ταχύτητα v). Στην περίπτωση αυτή, η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας οδηγεί απευθείας στην εξίσωση κίνησης x=x(t).

2. Για κατάλληλη μορφή της δυναμικής ενέργειας U(x) και για ορισμένες τιμές της ολικής μηχανικής ενέργειας Ε του σωματιδίου, η κίνηση είναι περιοδική και λαμβάνει χώρα ανάμεσα στα σημεία -Α και +Α, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης.

3. Γενικά, η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από το πλάτος Α, άρα και από την ολική μηχανική ενέργεια Ε. Με μία εξαίρεση: Αν η δυναμική ενέργεια U(x) είναι παραβολικής μορφής: U=(1/2)kx², τότε η ολική δύναμη είναι της μορφής F(x)=–kx, η κίνηση είναι απλή αρμονική (δηλαδή, αρμονική ταλάντωση) και η περίοδος είναι ανεξάρτητη του πλάτους Α και της ενέργειας Ε.

4. Στην ταλάντωση με απόσβεση, η ολική δύναμη F περιέχει και έναν όρο που εξαρτάται από την ταχύτητα v, δηλαδή είναι της μορφής F=–kx–λv. Έτσι, η F δεν είναι συντηρητική, και για την εύρεση της εξίσωσης κίνησης πρέπει να καταφύγουμε στις μεθόδους ολοκλήρωσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Επί πλέον, ακόμα και στην περίπτωση ταλάντωσης με συγκεκριμένη συχνότητα, η κίνηση δεν είναι περιοδική, αφού το σύστημα δεν επιστρέφει ποτέ στην αρχική του κατάσταση καθώς το πλάτος ταλάντωσης συνεχώς μειώνεται.

Διαβάστε το άρθρο

Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης (έκδοση 2022)

 https://eclass.hna.gr/modules/document/file.php/TOM6109/Math.%20Analysis.pdf

Μαθηματική ανάλυση... express!

 Για πρώτη φορά στα τριαντα-τόσα χρόνια που διδάσκω Φυσική σε πρωτοετείς σπουδαστές θετικής κατεύθυνσης, αντιμετώπισα στο ξεκίνημα τούτης της ακαδημαϊκής χρονιάς ένα ζήτημα που, κυριολεκτικά, μου "έδεσε τα χέρια". Λόγω των προβλημάτων που δημιούργησε η πανδημία του Covid (και) στον χώρο της εκπαίδευσης, οι σπουδαστές που εισήλθαν στην Τριτοβάθμια δεν είχαν προλάβει να διδαχθούν στο Λύκειο το σύνολο των απαιτούμενων Μαθηματικών. Έτσι, οι πρωτοετείς μου μού δήλωσαν ορθά - κοφτά εξαρχής ότι δεν θα έπρεπε να χρησιμοποιώ ολοκληρωτικό λογισμό στη Μηχανική, αφού δεν γνώριζαν (πλην ελαχίστων) τι είναι το ολοκλήρωμα! Άντε τώρα να εξηγήσει ο δάσκαλος πώς υπολογίζουμε την ταχύτητα και τη θέση ενός κινητού αν γνωρίζουμε την επιτάχυνσή του (ή, το πεδίο δυνάμεων μέσα στο οποίο βρίσκεται). Και, άντε να εξηγήσω τι εννοούμε όταν λέμε ότι το έργο μιας δύναμης παρίσταται με επικαμπύλιο ολοκλήρωμα!

Επειδή - για να είμαι ειλικρινής - πάντα αντιμετώπιζα ζητήματα σχετικά με τα μαθηματικά προαπαιτούμενα του μαθήματός μου, ετοίμασα πριν λίγα χρόνια ένα εγχειρίδιο μαθηματικής ανάλυσης συναρτήσεων μίας μεταβλητής, προς χρήση πρωτοετών (κυρίως) σπουδαστών θετικής κατεύθυνσης που χρειάζονται ένα γρήγορο "φρεσκάρισμα" μαθηματικών εννοιών και μεθόδων. Παράλληλα, το εγχειρίδιο αυτό θα μπορούσε να χρησιμεύσει και ως πρακτικό συμπληρωματικό βοήθημα για το μάθημα των Μαθηματικών, έστω και αν δεν το χαρακτηρίζει η σχολαστική αυστηρότητα ενός τυπικού μαθηματικού συγγράμματος!

Μπορείτε να το δείτε ή να το κατεβάσετε εδώ:

https://eclass.hna.gr/modules/document/file.php/TOM6109/Math.%20Analysis.pdf

ΚΠ

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και εφαρμογή στις ταλαντώσεις

Δείτε το άρθρο:

 https://eclass.hna.gr/modules/document/file.php/TOM6109/linear%20differential%20equations%20%28gr%29.pdf

Ο διαφορικός χαρακτήρας του φυσικού νόμου

Γιατί οι πλέον θεμελιώδεις νόμοι στην κλασική αλλά και τη σύγχρονη Φυσική εκφράζονται μαθηματικά με διαφορικές εξισώσεις; Η απάντηση βρίσκεται στο πώς το "είναι" οδηγεί στο "γίγνεσθαι", πώς το "εδώ" απλώνεται στο "παντού"... 

 Διαβάστε το άρθρο

Διαλεκτική: Από τη Φιλοσοφία στην Φυσικομαθηματική Επιστήμη

Hegel

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Πώς μέσω της Διαλεκτικής τα καταρχήν αντίθετα καθίστανται συμπληρωματικά. Από τη Φιλοσοφία στα Μαθηματικά, κι από τον Hegel και τον Maxwell στον Schrödinger, τον Βάγκνερ και τον Λιαντίνη...

    Διαλεκτική: Από τον Ηράκλειτο στον Hegel

Σύμφωνα με τον Ίωνα φιλόσοφο Ηράκλειτο (544 - 484 π.Χ.), πίσω από κάθε έκφανση του γίγνεσθαι στο Σύμπαν υπάρχει η εξ αντιθέτων σύσταση και εκ του πολέμου μεταξύ των αντιθέτων διάλυση των πάντων. Αυτό αποτελεί τη βάση της διαλεκτικής αρχής η οποία διέπει την εξέλιξη κάθε πράγματος στον κόσμο.

Στον Πλάτωνα - φύσει πιο φωτεινό πνεύμα από τον "σκοτεινό" Ηράκλειτο - η (κατά βάση σωκρατική) Διαλεκτική αποκτά διαφορετικό νόημα: είναι η τέχνη τού διαλέγεσθαι, δηλαδή, ο τρόπος να φτάνουμε στην αλήθεια μέσω της σύγκρουσης αντιθέτων απόψεων.

Ο Hegel (1770 - 1831) εξελίσσει τις ιδέες του Ηρακλείτου κατά δύο τρόπους: (α) τον απασχολούν οι ιδέες εξίσου με τα φαινόμενα, και (β) σπάζει το απόλυτο δίπολο θέσης - αντίθεσης προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο, αυτό της σύνθεσης. Σύμφωνα με την διαλεκτική αρχή τού Hegel, η εξελικτική πορεία όλων των πραγμάτων και όλων των ιδεών βασίζεται στο τρίπτυχο "θέση - αντίθεση - σύνθεση" ή "κατάφαση - αντίφαση - συμφωνία". Με γενικότερους όρους, "Είναι - Μη είναι - Γίγνεσθαι". Η ουσία της πραγματικότητας συνίσταται μεν στην αντίθεση αλλά εμπεριέχει τη συμφωνία, την συνδιαλλαγή. Έτσι, μέσα από τη σύνθεση των αντιθέσεων αναζητείται ένα ανώτερο επίπεδο αλήθειας.

Ας δούμε τις ιδέες του Hegel λίγο αναλυτικότερα:

Μία ιδέα δεν είναι ένα πράγμα απόλυτο και στατικό αλλά αντιπροσωπεύει μια ομάδα σχέσεων. Μπορούμε να σκεφτούμε για κάτι μόνο σε συσχετισμό με κάτι άλλο, αντιλαμβανόμενοι τις ομοιότητες και τις διαφορές τους. Μία ιδέα χωρίς κάποιου είδους σχέσεις είναι κενή περιεχομένου.

Από όλες τις σχέσεις, η πλέον οικουμενική είναι εκείνη της αντίθεσης. Κάθε ιδέα, όπως και κάθε πραγματική κατάσταση, κατευθύνει αυτόματα προς το αντίθετό της και, στη συνέχεια, ενώνεται με αυτό για να σχηματίσουν μία ανώτερη και πιο σύνθετη δομή. Αυτή είναι η διαλεκτική αρχή στην οποία βασίζεται κάθε μορφή εξέλιξης ιδεών και πραγμάτων.

Έτσι, για παράδειγμα, ύλη και πνεύμα, καλό και κακό, κλπ., "διαλέγονται" μεταξύ τους και τελικά συντίθενται σε μία ανώτερη ύπαρξη: τον Άνθρωπο. Με όμοιο τρόπο, Λογική και Μεταφυσική, που εκπροσωπούν δύο καταρχήν αντίθετες φιλοσοφικές σχολές, οριοθετούνται και "συμφιλιώνονται" στην κριτική φιλοσοφία του Καντ.

Σύμφωνα με την παραπάνω θεώρηση, κύρια αποστολή της Φιλοσοφίας είναι η αναζήτηση της ενότητας που εν δυνάμει υπάρχει στη διαφορετικότητα. Αλλά κι η Επιστήμη έχει έναν σημαντικό ρόλο να παίξει...

    Η Διαλεκτική στα Μαθηματικά

Με βάση τη συζήτηση που προηγήθηκε, στο ανώτερο επίπεδο μίας διαλεκτικής σύνθεσης τα καταρχήν ασύμβατα μεταξύ τους καθίστανται συμπληρωματικά. Στα μαθηματικά, η σύνθεση αυτή εκφράζεται συμβολικά με τη γενική σχέση

Α * Β = Γ     (1)

όπου τα Α, Β, Γ είναι μαθηματικές έννοιες ή μαθηματικά αντικείμενα, και όπου η σύνθεση (*) των Α και Β μπορεί να είναι μία τυπική πράξη (π.χ., πρόσθεση) ή ένας λογικός σύνδεσμος (π.χ., διάζευξη). Το σύμβολο (=) μπορεί, αντίστοιχα, να δηλώνει μία τυπική ισότητα ή μια λογική ισοδυναμία. Εξ ορισμού, η σχέση Α=Β (ως ισότητα ή ως ισοδυναμία) είναι αδύνατη. Τα Α και Β ανήκουν σε "κόσμους" ασύμβατους μεταξύ τους, οι οποίοι μέσω της σύνθεσης (*) καθίστανται συμπληρωματικοί.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Αν τα Α και Β στη σχέση (1) συμβολίζουν τις έννοιες "άρτιος αριθμός" και "περιττός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "ακέραιος αριθμός" (πράγματι, ένας ακέραιος είναι είτε άρτιος είτε περιττός). Δηλαδή, η έννοια "ακέραιος" αποτελεί σύνθεση των αντίθετων μεταξύ τους εννοιών "άρτιος" και "περιττός". Με όμοιο τρόπο, αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "ρητός αριθμός" και "άρρητος αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει και πάλι διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "πραγματικός αριθμός".

2. Αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "πραγματικός αριθμός" και "φανταστικός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) είναι τυπική πρόσθεση, τότε το Γ σημαίνει "μιγαδικός αριθμός". Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τη γνωστή σχέση x+iy=z, όπου τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί ενώ το z είναι μιγαδικός.

3. Μία αυθαίρετη συνάρτηση f(x), που δεν είναι είτε άρτια είτε περιττή, φέρει μέσα της και τις δύο αυτές αντίθετες ιδιότητες [οι οποίες αντιστοιχούν στις έννοιες Α και Β της σχέσης (1)], αφού μπορεί πάντα να γραφεί ως άθροισμα μίας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης:

f(x) = (1/2) [ f(x) + f(-x) ] + (1/2) [ f(x) - f(-x) ] = άρτια + περιττή .

4. Όμοια, κάθε τετραγωνικός πίνακας M μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα:

M = (1/2) (M + M^T) + (1/2) (M - M^T) = συμμετρικός + αντισυμμετρικός .

5. Κάθε διάνυσμα V στον τρισδιάστατο χώρο μπορεί να εκφραστεί ως διανυσματικό άθροισμα ενός διανύσματος κατά μήκος δοσμένης γραμμής και ενός διανύσματος κάθετου στη γραμμή αυτή (υποθέτουμε ότι η γραμμή διέρχεται από την αρχή τού V). Πράγματι, το V και η δοσμένη γραμμή (ας την ονομάσουμε άξονα x) ορίζουν ένα επίπεδο xy, όπου ο άξονας y είναι κάθετος στον άξονα x. Τότε, το V αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους διανυσματικές συνιστώσες κατά μήκος των αξόνων x και y, των οποίων συνιστωσών το V αποτελεί διανυσματικό άθροισμα:

V = V_x + V_y .

Η καθετότητα είναι μία μορφή ασυμβατότητας, αφού δεν υφίσταται μη-μηδενική προβολή διανύσματος σε διεύθυνση κάθετη προς αυτό. Υπό αυτή την έννοια, τα διανύσματα V_x και V_y  (κάθετα μεταξύ τους) είναι ασύμβατα το ένα ως προς το άλλο. (Δεν θα χρησιμοποιήσουμε εδώ την έκφραση "αντίθετα", η οποία στη διανυσματική ανάλυση δηλώνει αντίθετες κατευθύνσεις.)

6. Κάθε παραγωγίσιμο διανυσματικό πεδίο V(x,y,z) στον χώρο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός αστρόβιλου και ενός σωληνωτού πεδίου. Τόσο από φυσική, όσο και από γεωμετρική άποψη, οι δύο αυτοί τύποι πεδίου έχουν αντίθετες ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι δυναμικές γραμμές ενός αστρόβιλου πεδίου είναι ανοιχτές (έχουν αρχή και τέλος) ενώ εκείνες ενός σωληνωτού είναι κλειστές. Από φυσική άποψη, ένα σωληνωτό πεδίο δεν μπορεί να έχει μεμονωμένες σημειακές πηγές (πόλους) ενώ ένα αστρόβιλο πεδίο μπορεί να έχει. Γράφουμε:

V(x,y,z) = U(x,y,z) + W(x,y,z)   όπου   rot U = 0  και  div W = 0 .

    Διαλεκτική και Φυσικές επιστήμες

Η μέσω της σύνθεσης ενοποίηση των αντιθέτων βρίσκει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Το φως συμπεριφέρεται άλλοτε ως σωματίδιο (φωτόνιο) και άλλοτε ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, η έννοια "φως" συντίθεται από δύο ασύμβατες μεταξύ τους φυσικές έννοιες, "σωματίδιο" και "κύμα", όπου η πρώτη περιγράφει διακριτή ποσότητα ενέργειας εντοπισμένης στον χώρο, ενώ η δεύτερη αναφέρεται σε ενέργεια που κατανέμεται στον χώρο με τρόπο συνεχή. (Μία σειρά από άλλα φαινόμενα επίσης διαφοροποιούν τις δύο αυτές εκφάνσεις του φωτός.)

2. Η "θεωρία ενοποιημένου πεδίου" επιχειρεί να συνενώσει φαινομενικά διαφορετικά μεταξύ τους πεδία δυνάμεων ώστε να οριστούν γενικότερα και πιο σύνθετα πεδία. Ήδη τον 19ο αιώνα ο James Clerk Maxwell ανακάλυψε ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αποτελούν απλά δύο όψεις ενός πιο σύνθετου πεδίου, του ηλεκτρομαγνητικού. Τον 20ό αιώνα δύο ακόμα πεδία, αυτά της ασθενούς και της ισχυρής δύναμης, εντάχθηκαν στο σχέδιο της ενοποίησης, ενώ συνεχίζονται οι προσπάθειες για να μπει στην "παρέα" και η βαρύτητα.

3. Στον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων και υψηλών ενεργειών, θεωρίες όπως η υπερσυμμετρία επιχειρούν να αναδείξουν την κρυμμένη ενότητα ανάμεσα στα μποζόνια και τα φερμιόνια, τα οποία αποτελούν δύο κατηγορίες σωματίων που οι συλλογικές συμπεριφορές τους δείχνουν εκ διαμέτρου αντίθετες στον κόσμο των χαμηλών ενεργειών όπου ζούμε. (Τα μποζόνια - όπως, π.χ., το φωτόνιο - είναι πολύ "κοινωνικά", ενώ τα φερμιόνια - όπως το ηλεκτρόνιο - έχουν την τάση να είναι "μονήρη".)

4. Η περίφημη "γάτα του Schrödinger", ένα νοητικό πείραμα για την κβαντική υπέρθεση, φτάνει στο σημείο να συνθέσει διαλεκτικά τη ζωή με τον θάνατο. Με τεχνικούς όρους, η κβαντική κατάσταση της γάτας είναι γραμμικός συνδυασμός δύο επιμέρους καταστάσεων που αντιστοιχούν στις πιθανότητες η γάτα να είναι ζωντανή ή νεκρή. Η σύνθεσή τους, λοιπόν, επιτρέπει στη γάτα να είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή! Βέβαια, αυτό ισχύει όσο δεν παρατηρούμε τη γάτα. Με το που θα κοιτάξουμε, η αλλόκοτη αυτή μαθηματική σύνθεση θα καταρρεύσει στη μία ή την άλλη συνιστώσα της, και η μοίρα της γάτας θα είναι πλέον απολύτως προσδιορισμένη...

    Επιστήμη, Φιλοσοφία και Τέχνη

Σε μία κριτική ανάλυση πάνω σε μια διάλεξη του Δημήτρη Λιαντίνη¹ είχαμε επιχειρήσει πριν χρόνια να χαράξουμε σαφή όρια ανάμεσα στην Επιστήμη και τη Φιλοσοφία. Γράψαμε:

Σκοπός της επιστήμης είναι η διερεύνηση των ορίων του αποδείξιμου. Αντίθετα, σκοπός της φιλοσοφίας είναι ο στοχασμός πέραν των ορίων του αποδείξιμου. (...) Ως γνώστης του στοχασμού των φιλοσόφων, ο Λιαντίνης ήταν επιστήμων. Ως στοχαστής ο ίδιος πάνω σε ζητήματα μεταφυσικής, ήταν φιλόσοφος.

Αναφέρθηκα πρόσφατα σε αυτή την ιδέα στο πλαίσιο μίας συζήτησης με καλό φίλο καθηγητή Φιλοσοφίας. Κι εκείνος έκανε μία ενδιαφέρουσα όσο και κρίσιμη προσθήκη στο σκέλος που αφορά τη φιλοσοφία:

    "...ο στοχασμός και πέραν των ορίων του αποδείξιμου!"

Η (φαινομενικά) μικρή λέξη "και" που πρόσθεσε ο φίλος στον ορισμό κάνει τη μεγάλη διαφορά: καθιστά πιο δυσδιάκριτα τα όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία, έτσι που κάποιες γνωστικές περιοχές να διεκδικούνται ισότιμα και από τις δύο. Στο τέλος οφείλει να επέλθει συμβιβασμός προς όφελος του ανθρώπινου πνεύματος. Κι αυτό ακριβώς αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη ιδέα της Διαλεκτικής!

Βάζοντας, τώρα, στο κάδρο της συζήτησης και τη Μουσική, αυτό το "και" που συνδέει πράγματα καταρχήν διαφορετικά με παραπέμπει συνειρμικά στο μαγικό "und" στη δεύτερη πράξη του "Τριστάνου" του Βάγκνερ ("Tristan und Isolde"). Έναν σύνδεσμο που, πέραν της αυτονόητης αναφοράς στην ερωτική σχέση των δύο ηρώων, υπονοεί ταυτόχρονα και τη διαλεκτική συνύπαρξη φανερά αντίθετων ιδεών στο μουσικό δράμα: του φωτός με το σκότος, της λογικής με το συναίσθημα, του "πρέπει" με το "θέλω", της κοινωνικής υπόληψης με την προσωπική ευτυχία, του έρωτα με τον θάνατο (ένα αχώριστο δίπολο κατά τον Δ. Λιαντίνη)...

Τίποτα δεν αναδεικνύει, τελικά, την ωραιότητα της Φιλοσοφίας όσο η Τέχνη. Και, για κάποιους αιθεροβάμονες ρομαντικούς, ακόμα κι η επιστήμη μία μορφή τέχνης (μπορεί να) είναι!

¹ https://www.aixmi.gr/index.php/poso-st-alitheia-haoromaste-se-mia-kideia/

"Ενεργητικοί" και "παθητικοί" μετασχηματισμοί

 Όταν ένα φυσικό σύστημα φαίνεται να αλλάζει, δύο πράγματα μπορεί να συμβαίνουν: το ίδιο το σύστημα μεταβαίνει από μία κατάσταση σε μία άλλη, ή, η ίδια κατάσταση του συστήματος θεωρείται από δύο διαφορετικές οπτικές γωνίες. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε μία "ενεργητική" θεώρηση της φυσικής κατάστασης, ενώ στη δεύτερη περίπτωση μία "παθητική" θεώρηση.

Στην περίπτωση ενός ευκλείδειου χώρου με καρτεσιανές συντεταγμένες, ένας παθητικός μετασχηματισμός που αντιστοιχεί σε αλλαγή καρτεσιανής βάσης (από μία ορθοκανονική βάση σε μία άλλη) είναι ορθογώνιος μετασχηματισμός. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός διατηρεί αναλλοίωτο το μέτρο ενός διανύσματος, καθώς και το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Ένας ενεργητικός μετασχηματισμός σε έναν διανυσματικό χώρο παράγεται με τη βοήθεια ενός γραμμικού τελεστή, ο οποίος παρίσταται με πίνακα σε μία δοσμένη βάση διανυσμάτων του χώρου. Μια αλλαγή βάσης, που οδηγεί σε διαφορετική αναπαράσταση μέσω πινάκων, ισοδυναμεί με παθητικό μετασχηματισμό στον χώρο.

Οι παραπάνω ιδέες βρίσκουν ευρύτατη εφαρμογή στην Κλασική Μηχανική, στη Σχετικότητα και στην Κβαντομηχανική.

Διαβάστε το άρθρο...

On active and passive transformations

Infinitesimal symmetry transformations of matrix-valued differential equations: An algebraic approach

The study of symmetries of partial differential equations (PDEs) has been traditionally treated as a geometrical problem. Although geometrical methods have been proven effective with regard to finding infinitesimal symmetry transformations, they present certain conceptual difficulties in the case of matrix-valued PDEs; for example, the usual differential-operator representation of the symmetry-generating vector fields is not possible in this case. An algebraic approach to the symmetry problem of PDEs is described, based on abstract operators (characteristic derivatives) which admit a standard differential-operator representation in the case of scalar-valued PDEs.

Read the article

Έκθεση πεπραγμένων...

Έχοντας ήδη αποχαιρετήσει το 2017, νιώθουμε την ανάγκη να κάνουμε μία ανασκόπηση της πιο πρόσφατης δουλειάς μας σε ό,τι αφορά, κυρίως, το δημοσιευμένο παιδαγωγικό έργο. Όχι από αίσθημα προσωπικής ματαιοδοξίας, αλλά γιατί πιστεύουμε ότι ένας απολογισμός τής (ελπίζω όχι μάταιης) εκπαιδευτικής πορείας μας των τελευταίων χρόνων είναι αναγκαίος και οφειλόμενος...

ΒΙΒΛΙΑ

Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης Συναρτήσεων Μίας Μεταβλητής

Aspects of Integrability of Differential Systems and Fields

Introduction to Mechanics of Particles and Systems

Introduction to Electromagnetic Theory and the Physics of Conducting Solids
(Δημοσιευμένο επίσης στο arXiv.org)


ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΑΡΘΡΑ

Foundations of Newtonian Dynamics: An Axiomatic Approach for the Thinking Student
(Σε αναθεωρημένη μορφή, στο arXiv.org)

Electromotive force: A guide for the perplexed

Does the electromotive force (always) represent work?

Some aspects of the electromotive force

Symmetry and integrability of classical field equations

The Maxwell equations as a Backlund transformation

Backlund transformations: Some old and new perspectives

The hidden symmetry and Mr. Higgs!

Electromagnetic waves, gravitational waves and the prophets who predicted them


ΕΠΙΛΟΓΗ ΑΡΘΡΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

A conceptual approach to racism

Αναζητώντας "ενόχους" στο "Μεγάλο Πόλεμο"

Στα χαρακώματα του "Μεγάλου Πολέμου"

Χίτλερ-Στάλιν: Δύο τέρατα στο ζυγό της Ιστορίας

Γιατί, τελικά, ο Χίτλερ είναι πιο κακός από τον Στάλιν;

Εκπαίδευση και σύγχρονος πραγματισμός

Ο Χίτλερ και η φιλοσοφική θεώρηση του Κακού

Σκέψεις πάνω σε μια διάλεξη του Δημήτρη Λιαντίνη

Πόσο στ' αλήθεια χαιρόμαστε σε μια κηδεία;

Ορίζοντας τον έρωτα: ένα Λιαντινικό αίνιγμα

Τα πρόσωπα του λαϊκισμού

Ο φιλελευθερισμός και το τέλος της ηθικής

Ακαδημαϊκός λόγος και ακαδημαϊκή αυταρέσκεια

* Για μια συνολικότερη θεώρηση του έργου μας, δείτε τα sites ART & SCIENCE και AthensView

Έκθεση θερινών πεπραγμένων 2016 !

Μια και για άλλη μια χρονιά δεν κατορθώσαμε να "πάμε διακοπές" (sic), αποφασίσαμε να αξιοποιήσουμε τον διαθέσιμο χρόνο γράφοντας. Και, επειδή οι αρχισυντάκτες στο Βήμα και στην Αιχμή δικαιούνταν κι αυτοί να πάρουν μια ανάσα από τις συνήθεις φιλοσοφικές απεραντολογίες μας, εστιάσαμε την προσοχή μας κυρίως στη Φυσική και τα Μαθηματικά...

Ένα νέο άρθρο, με χαρακτήρα review, ανακεφαλαιώνει τις σημαντικότερες εφαρμογές - παλιές και νέες - των μετασχηματισμών Bäcklund:

Bäcklund Transformations: Some Old and New Perspectives *

Αναρτήσαμε, επίσης, μια σειρά παιδαγωγικών κειμένων στο site της σχολής μας, με σκοπό τον εμπλουτισμό του με νέο υλικό:

Center of mass of a system of particles

Determinants: Properties & Applications

Mathematical Handbook

Some aspects of the electromotive force


* Αποτελεί ιδιαίτερη τιμή για εμάς η ανάρτηση του άρθρου στον ιστότοπο The Net Advance of Physics από το πανεπιστήμιο MIT:

Electricity and Magnetism

Partial Differential Equations

Εξισώσεις του Maxwell: Μια διαφορετική θεώρηση

Οι Εξισώσεις του Maxwell αποτελούν τη μαθηματική έκφραση των θεμελιωδών νόμων του ηλεκτρομαγνητισμού. Μια από τις σημαντικότερες προβλέψεις τους είναι η κυματική φύση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, η ύπαρξη, δηλαδή, ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Από μαθηματική άποψη, "παραγωγίζοντας" κατάλληλα τις εξισώσεις του Maxwell, μπορούμε να τις αποσυμπλέξουμε και να πάρουμε χωριστές κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο. Αυτό που απλουστεύει κατά πολύ τα πράγματα στον ηλεκτρομαγνητισμό είναι το γεγονός ότι, τόσο οι ίδιες οι εξισώσεις για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, όσο και οι εξαγόμενες από αυτές κυματικές εξισώσεις, είναι γραμμικές. Έτσι, στον κενό χώρο, το άθροισμα δύο λύσεων είναι κι αυτό λύση, και γενικά, κάθε λύση μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός στοιχειωδών λύσεων.

Από την άλλη μεριά, οι μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις συνθέτουν ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Διάφορες τεχνικές εύρεσης λύσεων έχουν αναπτυχθεί, μία εκ των οποίων είναι η αναζήτηση κατάλληλων μετασχηματισμών Bäcklund (Bäcklund transformations, BT). Ένας τέτοιος μετασχηματισμός συνδέει λύσεις μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης (ΜΔΕ) με λύσεις μιας άλλης ΜΔΕ, ή, συνδέει μεταξύ τους διαφορετικές λύσεις της ίδιας ΜΔΕ (αυτο-BT). Έτσι, αν ήδη γνωρίζουμε μια λύση της μίας ΜΔΕ, μπορούμε να βρούμε απευθείας μια λύση της άλλης ΜΔΕ χωρίς καν να την ολοκληρώσουμε, κάνοντας απλά χρήση του BT. Ή, σε περίπτωση ενός αυτο-BT, αν γνωρίζουμε μία λύση μιας ΜΔΕ, μπορούμε απευθείας να βρούμε μια άλλη λύση χωρίς να ολοκληρώσουμε την ίδια την εξίσωση.

Πόσο χρήσιμοι θα μπορούσαν να είναι οι BT στην περίπτωση γραμμικών ΜΔΕ; Εκεί, άλλωστε, η εύρεση λύσεων είναι μια πολύ ευκολότερη υπόθεση. Ενδιαφέρον, εν τούτοις, παρουσιάζουν συχνά τα γραμμικά συστήματα ΜΔΕ. Ας μη βιαστούμε να υποθέσουμε ότι, δοθέντος ενός τέτοιου συστήματος, αναζητούμε έναν κατάλληλο BT για να το επιλύσουμε! Σκεφτόμαστε ακριβώς ανάποδα: Μήπως το ίδιο το σύστημα αποτελεί έναν BT που συνδέει τις λύσεις δύο γραμμικών ΜΔΕ; Αν είναι έτσι, με δεδομένο ότι είναι σχετικά εύκολο (λόγω γραμμικότητας) να βρούμε επιμέρους λύσεις αυτών των ΜΔΕ, ίσως θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε ζεύγη τέτοιων λύσεων για να κατασκευάσουμε λύσεις του αρχικού, γραμμικού συστήματος.

Πώς προέκυψε μια τέτοια ιδέα; Από ένα πολύ κλασικό πρόβλημα, στο οποίο αναφερθήκαμε ήδη: το συσχετισμό ανάμεσα στις εξισώσεις του Maxwell και τις κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο. Συγκεκριμένα, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις του Maxwell αποτελούν έναν BT που συνδέει λύσεις των δύο αυτών κυματικών εξισώσεων.

Δείτε ένα πρόσφατο άρθρο:

The Maxwell equations as a Bäcklund transformation

Με την ευκαιρία, θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στο Πανεπιστήμιο MIT που μας τίμησε αναρτώντας ένα ακόμα παιδαγωγικό άρθρο μας στον ιστότοπο The Net Advance of Physics, στις ιστοσελίδες του Ηλεκτρομαγνητισμού και των Διαφορικών Εξισώσεων. Συνεχίζουμε...