Θα συζητήσουμε ένα πρόβλημα στη θεωρία πιθανοτήτων, το οποίο συναντάμε στην στατιστική κατανομή φερμιονίων στις κβαντικές καταστάσεις δοσμένης ενέργειας (βλ. [1]). Θα το περιγράψω, όμως, με όρους καθημερινότητας, αφού στην ουσία πρόκειται για όμοιες περιπτώσεις.
Θεωρούμε μία σειρά N καθισμάτων σε έναν κινηματογράφο. Γνωρίζουμε ότι στη σειρά αυτή κάθονται n θεατές (όπου n<N). Όμως, καθώς είναι σκοτεινά, δεν μπορούμε να διακρίνουμε ποιες ακριβώς θέσεις είναι κατειλημμένες. Ερώτηση: Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα κάθισμα, τι πιθανότητα υπάρχει να κάθεται εκεί ένας θεατής;
Κάποιος θα πει ότι, "αυτονόητα", η πιθανότητα να είναι κατειλημμένη η συγκεκριμένη θέση ισούται με P=n/N, δηλαδή ίση με το ποσοστό των καθισμάτων της σειράς που είναι κατειλημμένα. Ακούγεται λογικό, όμως πώς μπορούμε να το αποδείξουμε;
Σύμφωνα με την θεωρία πιθανοτήτων, το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να κατανείμουμε n αντικείμενα σε N θέσεις (όπου κάθε θέση μπορεί να φιλοξενήσει το πολύ ένα αντικείμενο) ισούται με
Q(n, N) = N! / n! (N-n)! (n<N)
Ζητούμε την πιθανότητα P να είναι κατειλημμένη μία συγκεκριμένη θέση, την οποία επιλέξαμε τυχαία. Προς τον σκοπό αυτό πρέπει να προσδιορίσουμε τον ολικό αριθμό συνδυασμών όπου η θέση αυτή είναι οπωσδήποτε κατειλημμένη. Ο αριθμός αυτός ισούται με το πλήθος των τρόπων με τους οποίους τα υπόλοιπα (n-1) αντικείμενα μπορούν να κατανεμηθούν στις υπόλοιπες (N-1) θέσεις. Το πλήθος αυτό ισούται με
Q(n-1, N-1) = (N-1)! / (n-1)! [(N-1)-(n-1)]! = (N-1)! / (n-1)! (N-n)!
Τότε,
P = [αριθμός κατανομών με την θέση κατειλημμένη] / [ολικός αριθμός όλων των δυνατών κατανομών] =>
P = Q(n-1, N-1) / Q(n, N) = [n! / (n-1)!] [(N-1)! / N!] = n.(1/N) =>
P = n/N = ποσοστό θέσεων που είναι κατειλημμένες. QED!
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου