Τρίτη, 25 Αυγούστου 2015

Εξισώσεις του Maxwell: Μια διαφορετική θεώρηση

Οι Εξισώσεις του Maxwell αποτελούν τη μαθηματική έκφραση των θεμελιωδών νόμων του ηλεκτρομαγνητισμού. Μια από τις σημαντικότερες προβλέψεις τους είναι η κυματική φύση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, η ύπαρξη, δηλαδή, ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Από μαθηματική άποψη, "παραγωγίζοντας" κατάλληλα τις εξισώσεις του Maxwell, μπορούμε να τις αποσυμπλέξουμε και να πάρουμε χωριστές κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο. Αυτό που απλουστεύει κατά πολύ τα πράγματα στον ηλεκτρομαγνητισμό είναι το γεγονός ότι, τόσο οι ίδιες οι εξισώσεις για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, όσο και οι εξαγόμενες από αυτές κυματικές εξισώσεις, είναι γραμμικές. Έτσι, στον κενό χώρο, το άθροισμα δύο λύσεων είναι κι αυτό λύση, και γενικά, κάθε λύση μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός στοιχειωδών λύσεων.

Από την άλλη μεριά, οι μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις συνθέτουν ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Διάφορες τεχνικές εύρεσης λύσεων έχουν αναπτυχθεί, μία εκ των οποίων είναι η αναζήτηση κατάλληλων μετασχηματισμών Bäcklund (Bäcklund transformations, BT). Ένας τέτοιος μετασχηματισμός συνδέει λύσεις μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης (ΜΔΕ) με λύσεις μιας άλλης ΜΔΕ, ή, συνδέει μεταξύ τους διαφορετικές λύσεις της ίδιας ΜΔΕ (αυτο-BT). Έτσι, αν ήδη γνωρίζουμε μια λύση της μίας ΜΔΕ, μπορούμε να βρούμε απευθείας μια λύση της άλλης ΜΔΕ χωρίς καν να την ολοκληρώσουμε, κάνοντας απλά χρήση του BT. Ή, σε περίπτωση ενός αυτο-BT, αν γνωρίζουμε μία λύση μιας ΜΔΕ, μπορούμε απευθείας να βρούμε μια άλλη λύση χωρίς να ολοκληρώσουμε την ίδια την εξίσωση.

Πόσο χρήσιμοι θα μπορούσαν να είναι οι BT στην περίπτωση γραμμικών ΜΔΕ; Εκεί, άλλωστε, η εύρεση λύσεων είναι μια πολύ ευκολότερη υπόθεση. Ενδιαφέρον, εν τούτοις, παρουσιάζουν συχνά τα γραμμικά συστήματα ΜΔΕ. Ας μη βιαστούμε να υποθέσουμε ότι, δοθέντος ενός τέτοιου συστήματος, αναζητούμε έναν κατάλληλο BT για να το επιλύσουμε! Σκεφτόμαστε ακριβώς ανάποδα: Μήπως το ίδιο το σύστημα αποτελεί έναν BT που συνδέει τις λύσεις δύο γραμμικών ΜΔΕ; Αν είναι έτσι, με δεδομένο ότι είναι σχετικά εύκολο (λόγω γραμμικότητας) να βρούμε επιμέρους λύσεις αυτών των ΜΔΕ, ίσως θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε ζεύγη τέτοιων λύσεων για να κατασκευάσουμε λύσεις του αρχικού, γραμμικού συστήματος.

Πώς προέκυψε μια τέτοια ιδέα; Από ένα πολύ κλασικό πρόβλημα, στο οποίο αναφερθήκαμε ήδη: το συσχετισμό ανάμεσα στις εξισώσεις του Maxwell και τις κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο. Συγκεκριμένα, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι εξισώσεις του Maxwell αποτελούν έναν BT που συνδέει λύσεις των δύο αυτών κυματικών εξισώσεων.

Για να μη φλυαρώ, δείτε το σχετικό, πρόσφατο άρθρο, γραμμένο με καθαρά παιδαγωγική λογική:

The Maxwell equations as a Bäcklund transformation

Με την ευκαιρία, θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στο Πανεπιστήμιο MIT που μας τίμησε αναρτώντας ένα ακόμα παιδαγωγικό άρθρο μας στον ιστότοπο The Net Advance of Physics, στις ιστοσελίδες του Ηλεκτρομαγνητισμού και των Διαφορικών Εξισώσεων. Συνεχίζουμε...

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου