Παρασκευή 7 Οκτωβρίου 2022

Νευτώνεια συστήματα σε μία διάσταση


Έχω συλλέξει σε ένα ενιαίο παιδαγωγικό άρθρο όλα όσα εκτέθηκαν αποσπασματικά σε προηγούμενες αναρτήσεις, πάνω στα μονοδιάστατα Νευτώνεια συστήματα. Ας συνοψίσουμε μερικά βασικά συμπεράσματα:

1. Ένα μονοδιάστατο σύστημα είναι συντηρητικό αν η ολική δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο είναι συνάρτηση της θέσης x και μόνο - δηλαδή, είναι της μορφής F(x) (ειδικά, η F δεν εξαρτάται από τον χρόνο t ή την ταχύτητα v). Στην περίπτωση αυτή, η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας οδηγεί απευθείας στην εξίσωση κίνησης x=x(t).

2. Για κατάλληλη μορφή της δυναμικής ενέργειας U(x) και για ορισμένες τιμές της ολικής μηχανικής ενέργειας Ε του σωματιδίου, η κίνηση είναι περιοδική και λαμβάνει χώρα ανάμεσα στα σημεία -Α και +Α, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης.

3. Γενικά, η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από το πλάτος Α, άρα και από την ολική μηχανική ενέργεια Ε. Με μία εξαίρεση: Αν η δυναμική ενέργεια U(x) είναι παραβολικής μορφής: U=(1/2)kx2, τότε η ολική δύναμη είναι της μορφής F(x)=–kx, η κίνηση είναι απλή αρμονική (δηλαδή, αρμονική ταλάντωση) και η περίοδος είναι ανεξάρτητη του πλάτους Α και της ενέργειας Ε.

4. Στην ταλάντωση με απόσβεση, η ολική δύναμη F περιέχει και έναν όρο που εξαρτάται από την ταχύτητα v, δηλαδή είναι της μορφής F=–kxλv. Έτσι, η F δεν είναι συντηρητική, και για την εύρεση της εξίσωσης κίνησης πρέπει να καταφύγουμε στις μεθόδους ολοκλήρωσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Επί πλέον, ακόμα και στην περίπτωση ταλάντωσης με συγκεκριμένη συχνότητα, η κίνηση δεν είναι περιοδική, αφού το σύστημα δεν επιστρέφει ποτέ στην αρχική του κατάσταση καθώς το πλάτος ταλάντωσης συνεχώς μειώνεται.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου