Είναι πάντα η ελευθερία πηγή ευτυχίας; | Μια ομιλία του καθηγητή Barry Schwartz

 Έζησα για κάποια χρόνια στην Αμερική, την εποχή του Ψυχρού Πολέμου. Αν ρωτούσες τότε έναν Αμερικανό, ποια θεωρούσε ως τη μεγαλύτερη δυστυχία στον κόσμο, θα απαντούσε χωρίς δεύτερη σκέψη πως δεν υπήρχε τίποτα χειρότερο από το να ζει κάποιος στη Σοβιετική Ένωση! Ο λόγος προφανής: οι σοβιετικοί πολίτες δεν απολάμβαναν τα αγαθά της ελευθερίας.

Θυμάμαι ένα ανέκδοτο που κυκλοφορούσε τότε στην Αμερική: "Αν θέλεις να κάνεις έναν Ρώσο να παραφρονήσει, φέρ' τον σε ένα αμερικανικό σούπερ-μάρκετ. Για πρώτη φορά στη ζωή του θα βρεθεί στην ανάγκη να διαλέξει μάρκα ενός προϊόντος ανάμεσα σε πολλές που υπάρχουν στο ράφι. Και, επειδή δεν έχει αναπτύξει την ικανότητα να επιλέγει, στο τέλος θα φύγει χωρίς να ψωνίσει τίποτα!"

Χωρίς να το αντιλαμβάνονται, οι Αμερικανοί περιέγραφαν την ελευθερία ως πηγή δυστυχίας. Όχι την υποθετική ελευθερία του φανταστικού σοβιετικού πολίτη αλλά την ίδια τη δική τους ελευθερία, που αποτελεί τη βάση της δυτικής κοινωνίας της αφθονίας (τι ωραία που την περιγράφει ο Τζον Κένεθ Γκάλμπρεϊθ στο βιβλίο του!).

Ώστε, η ελευθερία δεν είναι (πάντα) πηγή ευτυχίας; Και, άρα, δεν ισχύει το δόγμα ότι, όσο περισσότερες επιλογές έχουμε, τόσο πιο ευτυχισμένοι νιώθουμε; Ας ακούσουμε την ανατρεπτική ομιλία του Αμερικανού καθηγητή ψυχολογίας, Barry Schwartz...

Η διαλεκτική σκέψη, από τη Φιλοσοφία ως τις Φυσικές Επιστήμες

Η Διαλεκτική αναζητά την ενότητα των πραγμάτων μέσα από τη σύνθεση καταρχήν αντίθετων εννοιών. Αυτό ισχύει από τη Φιλοσοφία και την Τέχνη ως τη Φυσική και τα Μαθηματικά. Δυστυχώς, δεν βρίσκει πεδίο εφαρμογής στην πολιτική...

    Διαλεκτική: Από τον Ηράκλειτο στον Hegel

Σύμφωνα με τον Ίωνα φιλόσοφο Ηράκλειτο (544 - 484 π.Χ.), πίσω από κάθε έκφανση του γίγνεσθαι στο Σύμπαν υπάρχει η εξ αντιθέτων σύσταση και εκ του πολέμου μεταξύ των αντιθέτων διάλυση των πάντων. Αυτό αποτελεί τη βάση της διαλεκτικής αρχής, η οποία διέπει την εξέλιξη κάθε πράγματος στον κόσμο.

Στον Πλάτωνα – φύσει πιο φωτεινό πνεύμα από τον «σκοτεινό» Ηράκλειτο – η (κατά βάση σωκρατική) Διαλεκτική αποκτά διαφορετικό νόημα: είναι η τέχνη τού διαλέγεσθαι, δηλαδή, ο τρόπος να φτάνουμε στην αλήθεια μέσω της σύγκρουσης αντίθετων απόψεων.

Ο Hegel (1770 - 1831) εξελίσσει τις ιδέες του Ηράκλειτου κατά δύο τρόπους: (α) τον απασχολούν οι ιδέες εξίσου με τα φαινόμενα, και (β) σπάζει το απόλυτο δίπολο θέσης – αντίθεσης προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο, αυτό της σύνθεσης. Σύμφωνα με την διαλεκτική αρχή τού Hegel, η εξελικτική πορεία όλων των πραγμάτων και όλων των ιδεών βασίζεται στο τρίπτυχο «θέση – αντίθεση – σύνθεση» ή «κατάφαση – αντίφαση – συμφωνία». Με γενικότερους όρους, «Είναι – Μη είναι – Γίγνεσθαι». Η ουσία της πραγματικότητας συνίσταται μεν στην αντίθεση αλλά εμπεριέχει τη συμφωνία, τη συνδιαλλαγή. Έτσι, μέσα από τη σύνθεση των αντιθέσεων αναζητείται ένα ανώτερο επίπεδο αλήθειας.

Ας δούμε τις ιδέες του Hegel λίγο αναλυτικότερα:

Μία ιδέα δεν είναι ένα πράγμα απόλυτο και στατικό, αλλά αντιπροσωπεύει μια ομάδα σχέσεων. Μπορούμε να σκεφτούμε για κάτι μόνο σε συσχετισμό με κάτι άλλο, αντιλαμβανόμενοι τις ομοιότητες και τις διαφορές τους. Μία ιδέα χωρίς κάποιου είδους σχέσεις είναι κενή περιεχομένου.

Από όλες τις σχέσεις, η πλέον οικουμενική είναι εκείνη της αντίθεσης. Κάθε ιδέα, όπως και κάθε πραγματική κατάσταση, κατευθύνει αυτόματα προς το αντίθετό της και, στη συνέχεια, ενώνεται με αυτό για να σχηματίσουν μία ανώτερη και πιο σύνθετη δομή. Αυτή είναι η διαλεκτική αρχή στην οποία βασίζεται κάθε μορφή εξέλιξης ιδεών και πραγμάτων.

Έτσι, για παράδειγμα, ύλη και πνεύμα, καλό και κακό, κλπ., «διαλέγονται» μεταξύ τους και τελικά συντίθενται σε μία ανώτερη ύπαρξη: τον Άνθρωπο. Με όμοιο τρόπο, Λογική και Μεταφυσική, που εκπροσωπούν δύο καταρχήν αντίθετες φιλοσοφικές σχολές, οριοθετούνται και «συμφιλιώνονται» στην κριτική φιλοσοφία του Καντ.

Σύμφωνα με την παραπάνω θεώρηση, κύρια αποστολή της Φιλοσοφίας είναι η αναζήτηση της ενότητας που εν δυνάμει υπάρχει στη διαφορετικότητα. Αλλά κι η Επιστήμη έχει έναν σημαντικό ρόλο να παίξει...

    Η Διαλεκτική στα Μαθηματικά

Με βάση τη συζήτηση που προηγήθηκε, στο ανώτερο επίπεδο μίας διαλεκτικής σύνθεσης τα καταρχήν ασύμβατα μεταξύ τους καθίστανται συμπληρωματικά. Στα μαθηματικά, η σύνθεση αυτή εκφράζεται συμβολικά με τη γενική σχέση:

    Α * Β = Γ     (1)

όπου τα Α, Β, Γ είναι μαθηματικές έννοιες ή μαθηματικά αντικείμενα, και όπου η σύνθεση (*) των Α και Β μπορεί να είναι μία τυπική πράξη (π.χ., πρόσθεση) ή ένας λογικός σύνδεσμος (π.χ., διάζευξη). Το σύμβολο (=) μπορεί, αντίστοιχα, να δηλώνει μία τυπική ισότητα ή μια λογική ισοδυναμία. Εξ ορισμού, η σχέση Α=Β (ως ισότητα ή ως ισοδυναμία) είναι αδύνατη. Τα Α και Β ανήκουν σε «κόσμους» ασύμβατους μεταξύ τους, οι οποίοι μέσω της σύνθεσης (*) καθίστανται συμπληρωματικοί.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Αν τα Α και Β στη σχέση (1) συμβολίζουν τις έννοιες «άρτιος αριθμός» και «περιττός αριθμός», αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει «ακέραιος αριθμός» (πράγματι, ένας ακέραιος είναι είτε άρτιος είτε περιττός). Δηλαδή, η έννοια «ακέραιος» αποτελεί σύνθεση των αντίθετων, μεταξύ τους, εννοιών «άρτιος» και «περιττός». Με όμοιο τρόπο, αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες «ρητός αριθμός» και «άρρητος αριθμός», αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει και πάλι διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει «πραγματικός αριθμός».

2. Αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες «πραγματικός αριθμός» και «φανταστικός αριθμός», αντίστοιχα, και αν το (*) είναι τυπική πρόσθεση, τότε το Γ σημαίνει «μιγαδικός αριθμός». Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τη γνωστή σχέση x+iy=z, όπου τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί ενώ το z είναι μιγαδικός.

3. Μία αυθαίρετη συνάρτηση F(x), που δεν είναι είτε άρτια είτε περιττή, φέρει μέσα της και τις δύο αυτές αντίθετες ιδιότητες [οι οποίες αντιστοιχούν στις έννοιες Α και Β της σχέσης (1)], αφού μπορεί πάντα να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Όμοια, κάθε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα.

4. Πάνω σε ένα επίπεδο, κάθε διάνυσμα V μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο διανυσμάτων κάθετων μεταξύ τους (συνιστώσες τού V). Η καθετότητα μεταξύ των δύο συνιστωσών είναι μία μορφή ασυμβατότητας, με την έννοια ότι δεν υφίσταται μη-μηδενική προβολή της μίας συνιστώσας πάνω στην άλλη.

5. Κάθε διανυσματικό πεδίο V(x,y,z) στον χώρο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός αστρόβιλου και ενός σωληνωτού πεδίου. Τόσο από φυσική, όσο και από γεωμετρική άποψη, οι δύο αυτοί τύποι πεδίου έχουν αντίθετες ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι δυναμικές γραμμές ενός αστρόβιλου πεδίου είναι ανοιχτές (έχουν αρχή και τέλος), ενώ εκείνες ενός σωληνωτού είναι κλειστές. Από φυσική άποψη, ένα σωληνωτό πεδίο (όπως, π.χ., το μαγνητικό πεδίο) δεν μπορεί να έχει μεμονωμένες σημειακές πηγές, ενώ ένα αστρόβιλο πεδίο (π.χ., το ηλεκτροστατικό) μπορεί να έχει.

    Διαλεκτική και Φυσικές επιστήμες

Η μέσω της σύνθεσης ενοποίηση των αντιθέτων βρίσκει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Όπως πρώτος παρατήρησε ο Αϊνστάιν, το φως συμπεριφέρεται άλλοτε ως σωματίδιο (φωτόνιο) και άλλοτε ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, η έννοια «φως» συντίθεται από δύο ασύμβατες μεταξύ τους φυσικές έννοιες: «σωματίδιο» και «κύμα», όπου η πρώτη περιγράφει διακριτή ποσότητα ενέργειας εντοπισμένης στον χώρο, ενώ η δεύτερη αναφέρεται σε ενέργεια που κατανέμεται στον χώρο με τρόπο συνεχή. Επί πλέον, σύμφωνα με την κβαντομηχανική, και τα ίδια τα σωματίδια της ύλης (όπως, π.χ., το ηλεκτρόνιο) υπό κατάλληλες συνθήκες εμφανίζουν κυματικές ιδιότητες!

2. Η «θεωρία ενοποιημένου πεδίου» επιχειρεί να συνενώσει φαινομενικά διαφορετικά μεταξύ τους πεδία δυνάμεων ώστε να οριστούν γενικότερα και πιο σύνθετα πεδία. Ήδη τον 19ο αιώνα ο James Clerk Maxwell ανακάλυψε ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αποτελούν απλά δύο όψεις ενός πιο σύνθετου πεδίου, του ηλεκτρομαγνητικού. Τον 20ό αιώνα δύο ακόμα πεδία, αυτά της ασθενούς και της ισχυρής δύναμης, εντάχθηκαν στο σχέδιο της ενοποίησης, ενώ συνεχίζονται οι προσπάθειες για να μπει στην «παρέα» και η δύστροπη βαρύτητα.

3. Στον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων και υψηλών ενεργειών, θεωρίες όπως η υπερσυμμετρία επιχειρούν να αναδείξουν την κρυμμένη ενότητα ανάμεσα στα μποζόνια και τα φερμιόνια, τα οποία αποτελούν δύο κατηγορίες σωματίων που οι συλλογικές συμπεριφορές τους δείχνουν εκ διαμέτρου αντίθετες στον κόσμο των χαμηλών ενεργειών όπου ζούμε. Τα μποζόνια – όπως, π.χ., το φωτόνιο – είναι πολύ «κοινωνικά», ενώ τα φερμιόνια – όπως το ηλεκτρόνιο – έχουν την τάση να είναι «μονήρη».

4. Η περίφημη «γάτα του Schrödinger», ένα νοητικό πείραμα για την κβαντική υπέρθεση, φτάνει στο σημείο να συνθέσει διαλεκτικά τη ζωή με τον θάνατο. Με τεχνικούς όρους, η κβαντική κατάσταση της γάτας είναι γραμμικός συνδυασμός δύο επιμέρους καταστάσεων που αντιστοιχούν στις πιθανότητες η γάτα να είναι ζωντανή ή νεκρή. Η σύνθεσή τους, λοιπόν, επιτρέπει στη γάτα να είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή! Βέβαια, αυτό ισχύει όσο δεν παρατηρούμε τη γάτα. Με το που θα κοιτάξουμε, η αλλόκοτη αυτή μαθηματική σύνθεση θα καταρρεύσει στη μία ή την άλλη συνιστώσα της, και η μοίρα της γάτας θα είναι πλέον απόλυτα προσδιορισμένη...

    Επιστήμη, Φιλοσοφία και Τέχνη

Σε πρόσφατη συζήτηση με τον καλό φίλο καθηγητή Φιλοσοφίας, Ηλία Τεμπέλη, με αντικείμενο μία φημισμένη διάλεξη του Δημήτρη Λιαντίνη, είχα επιχειρήσει να χαράξω σαφή όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία:

«Σκοπός της επιστήμης είναι η διερεύνηση των ορίων του αποδείξιμου. Αντίθετα, σκοπός της φιλοσοφίας είναι ο στοχασμός πέραν των ορίων του αποδείξιμου. Ως γνώστης του στοχασμού των φιλοσόφων, ο Λιαντίνης ήταν επιστήμων. Ως στοχαστής ο ίδιος πάνω σε ζητήματα μεταφυσικής, ήταν φιλόσοφος.»

Ο φίλος έκανε, τότε, μία ενδιαφέρουσα προσθήκη στο σκέλος που αφορά τη φιλοσοφία:

«...ο στοχασμός και πέραν των ορίων του αποδείξιμου!»

Η (φαινομενικά) μικρή λέξη «και» στον ορισμό καθιστά πιο δυσδιάκριτα τα όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία, έτσι που κάποιες γνωστικές περιοχές να διεκδικούνται ισότιμα και από τις δύο (ας θυμηθούμε, π.χ., το σχεδόν φιλοσοφικό ζήτημα της ερμηνείας της κβαντομηχανικής, που έφερε σε σύγκρουση τον Μπορ με τον Αϊνστάιν). Στο τέλος οφείλει να επέλθει συμβιβασμός προς όφελος του ανθρώπινου πνεύματος. Κι αυτό ακριβώς αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη ιδέα της Διαλεκτικής!

Βάζοντας, τώρα, στο κάδρο της συζήτησης και τη Μουσική, αυτό το «και» που συνδέει πράγματα καταρχήν αντίθετα με παραπέμπει, συνειρμικά, στο μαγικό “und” στη δεύτερη πράξη του «Τριστάνου» του Βάγκνερ (“Tristan und Isolde”). Πρόκειται εδώ για έναν σύνδεσμο που η χρήση του, πέραν της αυτονόητης αναφοράς στην ερωτική σχέση των δύο ηρώων, υπονοεί ταυτόχρονα και την διαλεκτική συνύπαρξη φανερά αντίθετων ιδεών στο μουσικό δράμα: του φωτός με το σκότος, της λογικής με το συναίσθημα, του «πρέπει» με το «θέλω», της κοινωνικής υπόληψης με την προσωπική ευτυχία, του έρωτα με τον θάνατο (ένα αχώριστο δίπολο κατά τον Δ. Λιαντίνη).

Και, μια και αναφερθήκαμε στη μουσική, να σημειώσω κάτι ιδιαίτερα σημαντικό: Η κορυφαία μουσική φόρμα, η «φόρμα σονάτας», με βάση την οποία δομούνται έργα όπως η σονάτα, το κουαρτέτο εγχόρδων και η συμφωνία, έχει στον πυρήνα της τη διαλεκτική σχέση ανάμεσα σε δύο αντίθετα, ως προς τον χαρακτήρα τους, μουσικά θέματα. Τα οποία, μέσω της ανάπτυξης, συντίθενται έτσι ώστε να παραχθεί ένα απόλυτα λογικό και ισορροπημένο μουσικό αποτέλεσμα.

    Αν υπήρχε η Διαλεκτική στην πολιτική...

Ένα πεδίο στο οποίο η Διαλεκτική δύσκολα βρίσκει εφαρμογή, είναι η πολιτική (σε αυτήν περιλαμβάνουμε και τις διεθνείς σχέσεις). Οι κομματικές παρατάξεις μίας χώρας (ονόματα δεν λέμε) συχνά διαγκωνίζονται για την εξουσία σπέρνοντας μίσος για τον αντίπαλο και καλλιεργώντας τον διχασμό στον λαό. Τους είναι αδύνατο να υπερβούν τις διαφορές τους και να ενώσουν δημιουργικά τις δυνάμεις τους για το καλό μίας πατρίδας την οποία το πολιτικό σύστημα είναι – υποτίθεται – ταγμένο να υπηρετεί.

Η μεγάλη εικόνα είναι ακόμα τραγικότερη. Τούτες τις μέρες παρακολουθούμε με οδύνη δύο λαούς που μοιράζονται μία μικρή γωνιά της Γης, να αλληλοεξοντώνονται με πράξεις ανείπωτης αγριότητας αντί να αναζητούν τρόπους ειρηνικής συνύπαρξης προς όφελος ολόκληρης της περιοχής. Ανάμεσα στις διαφορές τους, προεξάρχουσα θέση καταλαμβάνει ο θρησκευτικός δογματισμός. Το πώς αντιλαμβάνεται, δηλαδή, η κάθε πλευρά μεταφυσικά ζητήματα για τα οποία ο Άνθρωπος, λόγω της κοσμικής φύσης του, είναι αδύνατο να έχει την παραμικρή γνώση.

Φτάνουμε, έτσι, σε αυτό που θα ονομάζαμε «διαλεκτική ειρωνεία»: Ο Άνθρωπος, που αναζητά την ενότητα στη φιλοσοφία, την τέχνη και την επιστήμη, δεν μπορεί να τη βρει στη σχέση του με τον Άνθρωπο! Ο Ηράκλειτος χαμογελά σαρκαστικά από τα βάθη της Ιστορίας...

KLIK

ΤΟ ΒΗΜΑ - Είναι ο επαγγελματικός πραγματισμός μοναδικό ζητούμενο σε μία καλή εκπαίδευση;

Το εκπαιδευτικό σύστημα επικρίνεται συχνά για την αδυναμία του να παρακολουθήσει την αγορά και να προσαρμοστεί στις ανάγκες της. Είναι όμως ο επαγγελματικός πραγματισμός το μοναδικό ζητούμενο σε μία εκπαίδευση που υπηρετεί υψηλότερες ανθρώπινες αξίες;

Ο θείος μου ο Νικήτας ήταν Μηχανικός, σπουδαγμένος στο Πολυτεχνείο. Θα πρέπει να υπήρξε, διαχρονικά, ο φανατικότερος αναγνώστης του «Βήματος»! Όσο ζούσε, τον επισκεπτόμουν τακτικά και του διάβαζα τα κείμενά μου στην ηλεκτρονική έκδοση (παλιά «καραβάνα», δεν γνώριζε από υπολογιστές). Τα άκουγε πάντα με προσοχή. Και πάντα, μετά το τέλος της ανάγνωσης, έκανε το (αναμενόμενο) σχόλιο: «Τι τα θέλεις, τώρα, και τα γράφεις αυτά κι εκτίθεσαι;»

Ο θείος μου ανήκε σε εκείνη τη γενιά που μπορούσε άνετα μετά τις σπουδές να βρει μια θέση στο δημόσιο. Διορίστηκε, μα δεν κάθισε για πολύ. Προτίμησε, τελικά, να εργαστεί στη βιομηχανία, που πρόσφερε πολύ περισσότερα χρήματα και καλύτερες προοπτικές επαγγελματικής εξέλιξης.

Έχοντας ζήσει τις σκληρές εμπειρίες ενός πολέμου και μιας Κατοχής όπου «ζωή» έφτασε να σημαίνει «επιβίωση», ο θείος είχε υιοθετήσει απόλυτα τον μεταπολεμικό πραγματισμό της εποχής. Έτσι, για παράδειγμα, αν κάποιος νέος τού έλεγε ότι σκόπευε, π.χ., να σπουδάσει Φιλοσοφία, είναι βέβαιο ότι θα του έθετε το ρητορικό ερώτημα: «Και τι δουλειά θα βρεις να κάνεις όταν τελειώσεις τις σπουδές σου;» Με άλλα λόγια, πόση φιλοσοφία μπορεί να «καταναλώσει» η αγορά εργασίας; Τη ρητορική φύση του ερωτήματος αναδεικνύει ακόμα περισσότερο στις μέρες μας το γεγονός ότι, σύμφωνα με πρόσφατες μελέτες, όλο και λιγότεροι φοιτητές, διεθνώς, στρέφονται προς τις ανθρωπιστικές σπουδές. Ο λόγος είναι, φυσικά, ότι οι σχετιζόμενες επιστήμες «δεν πληρώνουν».

Γενικά μιλώντας, η σύνδεση της εκπαίδευσης με την αγορά εργασίας είναι σήμερα προϋπόθεση επιβίωσης. Και, με το ξέσπασμα της πρόσφατης οικονομικής κρίσης στη χώρα μας, κλιμακώθηκε μία αντίληψη σύμφωνα με την οποία πρωταρχικός – αν όχι μοναδικός – σκοπός της εκπαίδευσης είναι η προετοιμασία ενός νέου ανθρώπου για την ένταξή του στην αγορά.

Αναντίρρητα, η αγορά είναι ο στίβος όπου ο νέος θα αναζητήσει την ευκαιρία για την εξασφάλιση αξιοπρεπούς ζωής και κοινωνικής καταξίωσης. Το ζήτημα είναι κατά πόσον η εκπαίδευση θα πρέπει να περιορίσει τον ρόλο της στην υπηρέτηση αυτών και μόνο των στόχων, με δεδομένο ότι η επιβίωση είναι αναγκαία προϋπόθεση αλλά όχι επαρκής συνθήκη για μία ολοκληρωμένη ζωή. Η επίτευξη αυτής της ολοκλήρωσης υπήρξε πάντα η βασική αποστολή της παιδείας, ενός θεσμού που υπερβαίνει εκείνον της εκπαίδευσης. Γιατί, εκτός από την παροχή αναγκαίων γνώσεων, η παιδεία στοχεύει σε κάτι ανώτερο από την επιβίωση: τη διάπλαση χαρακτήρων, την ανάπτυξη αυτοσυνειδησίας και τη διαμόρφωση αξιών ζωής!

Στο σημείο αυτό, θα ήθελα να παραθέσω ένα απόσπασμα από ένα παλιότερο κείμενό μου στο «Βήμα» (Δεκέμβριος 2015):

Ας φανταστούμε ένα ακραίο σενάριο: μία κοινωνία όπου το εκπαιδευτικό σύστημα είναι προσανατολισμένο αποκλειστικά στις ανάγκες της αγοράς. Ο άνθρωπος – μονάδα αντικαθίσταται βαθμιαία από τον άνθρωπο – εξάρτημα. Η ανθρώπινη μοναδικότητα, δηλαδή, υποκαθίσταται από την ανθρώπινη λειτουργικότητα, στο πλαίσιο ενός προκαθορισμένου συστήματος αξιών με το οποίο ο άνθρωπος καλείται να είναι (ή να γίνει) συμβατός προκειμένου να επιβιώσει.

Η μοναδικότητα τείνει έτσι να γίνει αναλώσιμο είδος. Για παράδειγμα, μία ηλεκτρική συσκευή μπορεί να είναι μοναδική στο είδος της σε ένα σπίτι, αν όμως πάψει να λειτουργεί σωστά αντικαθίσταται από άλλη παρόμοια. Το ίδιο, κατ’ αναλογία, κι ένας οποιοσδήποτε επαγγελματίας μέσα στο απρόσωπο, ισοπεδωτικό χωνευτήρι της αγοράς σε αυτή την υποθετική κοινωνία.

Επιστρέφοντας στον κόσμο του πραγματικού, θεωρώ αναγκαίο να θέσω μερικά ερωτήματα στα οποία οφείλουμε οι εκπαιδευτικοί να δώσουμε πειστικές απαντήσεις:

– Στο πλαίσιο του λειτουργήματός μας, διδάσκουμε στον μαθητή το «γιατί», ή μήπως περιοριζόμαστε όλο και περισσότερο στο «πώς»; Αναδεικνύουμε την αξία της γνώσης για τη γνώση με πρωταρχικό στόχο τη διεύρυνση των πνευματικών οριζόντων και την εσωτερική καλλιέργεια; Ενθαρρύνουμε την ανάπτυξη κριτικής σκέψης σε βάρος της απομνημόνευσης;

– Αφήνουμε περιθώρια στον μαθητή να αναδείξει και να αναπτύξει ιδιαίτερα προσωπικά χαρίσματα τα οποία δεν προορίζονται να εξυπηρετήσουν τη μελλοντική σχέση του με την αγορά, άρα σχετίζονται γενικότερα με τη ζωή και όχι στενά με την επιβίωση; Τον ενθαρρύνουμε να ανακαλύψει μέσα του αρετές που δεν κοστολογούνται, άρα δεν αγοράζονται ή πουλιούνται;

– Στην αποτίμηση του ρόλου μας ως δασκάλων, υφίσταται ακόμα η ανάπτυξη αυτογνωσίας ως κορυφαία αποστολή της εκπαίδευσης (κατά Σωκράτη), ή ο όρος κατάντησε να σημαίνει την ανακάλυψη δεξιοτήτων που θα καταστήσουν τον αυριανό πολίτη χρήσιμο (αν και ενδεχομένως αναλώσιμο) εξάρτημα του συστήματος της αγοράς;

– Εξηγούμε στον μαθητή ότι υπάρχει κάποια διαφορά ανάμεσα στο επάγγελμα και το λειτούργημα (με τη σημασία της υψηλής κοινωνικής προσφοράς), έτσι ώστε όταν τα δύο συνυπάρχουν, το πρώτο να μην επισκιάζει και εν τέλει καταργεί το δεύτερο;

– Και, τέλος, διδάσκουμε την αλληλεγγύη σαν αντίρροπη δύναμη στον ανταγωνισμό και σαν απαραίτητο συνεκτικό στοιχείο κάθε ανθρώπινης κοινωνίας;

Με βάση τις απαντήσεις μας σε ερωτήματα όπως τα παραπάνω, θα μπορέσουμε να αξιολογήσουμε το επίπεδο της προσφοράς μας στο λειτούργημα της εκπαίδευσης. Θα μπορέσουμε να διαγνώσουμε αν επάξια φέρουμε τον τίτλο του δασκάλου, ή αν θα πρέπει ενδεχομένως να περιοριστούμε, π.χ., σε αυτόν του καθηγητή. Αν είμαστε ταγμένοι στην αποστολή της διαμόρφωσης ανθρώπινης συνειδητότητας, ή αν απλά λειτουργούμε ως χορηγοί πληροφορίας σε ανθρώπινους αποθηκευτικούς χώρους με στόχο την παραγωγή χρήσιμων μελλοντικών εργαλείων σε ένα σύστημα που καταπίνει την ατομικότητα...

Αυτά γράφαμε το 2015. Σήμερα το θέμα φαίνεται ακόμα περισσότερο επίκαιρο, καθώς, με βάση διεθνείς μελέτες, οι ανθρωπιστικές σπουδές διέρχονται κρίση. Όπως αναφέρει ένα άρθρο πανεπιστημιακής εφημερίδας στις ΗΠΑ, το οποίο έτυχε να διαβάσω πρόσφατα, πρόκειται για αληθινή «τραγωδία στην εκπαίδευση»! Ο θείος Νικήτας, βέβαια, ίσως θα το ‘βλεπε αλλιώς...

ΤΟ ΒΗΜΑ

New book | Elements of Mathematical Analysis

Elements of Mathematical Analysis: An Informal Introduction for Physics and Engineering Students

This short textbook is a concise, informal introduction to differentiation and integration of real functions of a single variable, supplemented with an elementary discussion of first-order differential equations, an introduction to differentiation and integration in higher dimensions, and an introduction to complex analysis. Functional series (and, in particular, power series) are also discussed. Proofs of theoretical statements are limited to those considered pedagogically useful, while the theory is amply supplemented with carefully chosen examples. The book may serve as a tutorial resource in a short-term introductory course of mathematical analysis for beginning students of physics and engineering who need to use differential and integral calculus primarily for applications. It is particularly suitable for self-study.

https://link.springer.com/book/9783031458538

Exponential function with any real exponent

We know, of course, how to raise a positive real number q to a rational power m/n, with m, n integers. That is, we are familiar with the definition of q^m/n.

But, how are we to interpret an irrational power q^x of this number? To answer this question we have to take a deeper look at the definition of the exponential function y=exp(x) for a general, real x.

Read the article

Στάλιν: Η αιματοβαμμένη διαδρομή ενός μαζικού εγκληματία

 Βλέποντας το πιο κάτω ντοκιμαντέρ και παραβάλλοντάς το με ανάλογα φιλμ για την ναζιστική Γερμανία, αναρωτιέται κάποιος σε τι διέφερε το καθεστώς του Στάλιν από εκείνο του Χίτλερ - τόσο στην εικόνα όσο και, κυρίως, στην ουσία. Επρόκειτο για δύο απόλυτα προσωποκεντρικά και ακραία εγκληματικά συστήματα εξουσίας. Ασφαλώς, το ασύλληπτο μαζικό έγκλημα του Ολοκαυτώματος εξασφαλίζει στον Χίτλερ ένα σαφές προβάδισμα στην κλίμακα του Κακού. Διαβάστε σχετικά:

https://www.tovima.gr/2019/11/08/opinions/xitler-kai-stalin-sti-zygaria-tou-kakou/

https://www.tovima.gr/2023/06/28/opinions/o-nazismos-kai-to-eysimo-tou-kakou/

Σχέδιο υποβάθμισης των Ανώτατων Στρατιωτικών Σχολών;

Από πρώην φοιτητή μου έλαβα πριν λίγες μέρες ένα μήνυμα που αφορούσε τις βάσεις εισαγωγής στις Στρατιωτικές Σχολές το 2023. Ενδεικτικά, μου παρέθεσε τα εξής στοιχεία:

Βάσεις 2023 

Σχολή Ναυτικών Δοκίμων (ΣΝΔ) :                                  12,7

Σχολή Μονίμων Υπαξιωματικών Ναυτικού (ΣΜΥΝ) :     13,7

Σχολή Ευελπίδων (Σ.Ε.) :                                               12,2

Σχολή Μονίμων Υπαξιωματικών Στρατού (Σ.Μ.Υ.) :       15,8

(Δείτε εδώ αναλυτικά τις βάσεις.)

Τα στοιχεία αυτά συνόδευε ένα μελαγχολικό σχόλιο που συνάδει απόλυτα με τις δικές μου σκέψεις και το δικό μου αίσθημα βαθιάς απογοήτευσης:

Λυπηρό...

Εκεί μας έφτασαν με την αδιαφορία τους. 

Από 18 που είχε η βάση στις δικές μας χρονιές...

Τώρα, αντί για Φυσική θα τους διδάσκετε γραφή και ανάγνωση!

Πέραν των εξευτελιστικά χαμηλών βάσεων εισαγωγής σε Ανώτατα Στρατιωτικά Εκπαιδευτικά Ιδρύματα (ΑΣΕΙ) όπως η ΣΝΔ και η Σ.Ε., παρατηρείται και το τραγελαφικό να είναι οι βάσεις αυτές χαμηλότερες και από εκείνες των αντίστοιχων Ανώτερων Σχολών Υπαξιωματικών!

Το 2014, ο τότε υπουργός Παιδείας, Ανδρέας Λοβέρδος, ενδεχομένως με τη σύμφωνη γνώμη - αν όχι την ευθεία παρότρυνση - κύκλων αποστράτων αξιωματικών που ποτέ δεν είδαν με καλό μάτι τον ακαδημαϊκό προσανατολισμό των στρατιωτικών σχολών, αποπειράθηκε να βγάλει τις σχολές αυτές από το σύστημα των πανελληνίων εισαγωγικών εξετάσεων, πράγμα που θα οδηγούσε στην εξ ορισμού υποβάθμισή τους σε σχέση με τα ΑΕΙ. Ευτυχώς η θητεία του ως υπουργού έληξε πριν προλάβει να βάλει σε εφαρμογή το (αμφιβόλων προθέσεων) σχέδιό του...

Σχεδόν μία δεκαετία αργότερα, κι αφού μεσολάβησαν (τα αναφέρω για ιστορικούς και μόνο λόγους) ένα τρίτο μνημόνιο, μία πανδημία και ένας πόλεμος στην Ευρώπη, φαίνεται πως ανακαλύφθηκε ένας πιο αποτελεσματικός τρόπος υποβάθμισης και, τελικά, απαξίωσης των ΑΣΕΙ: Τις αφήνουμε στο σύστημα των πανελλήνιων, αλλά τις τοποθετούμε στον "πάτο". Πού θα πάει, κάποια στιγμή μοιραία θα τις πετάξουν έξω! Άλλωστε, τι χρειάζεται η βαθιά επιστημονική επιμόρφωση όταν υπάρχει ακλόνητο πατριωτικό φρόνημα;

Δεν θα επιχειρήσω να απαντήσω στο αυτονόητα απαράδεκτο ρητορικό ερώτημα, ούτε θα προβώ σε περαιτέρω σχολιασμούς. Θα αναρωτηθώ μόνο τι είδους πρωτοετείς θα παραλάβω φέτος τον Σεπτέμβριο στη ΣΝΔ, για να τους διδάξω αυτά που οι προ εικοσαετίας πρωτοετείς μου γνώριζαν ήδη καλύτερα κι από εμένα τον ίδιο!

Αλλά, όπως γράφει στο τέλος του μηνύματός του ο πρώην φοιτητής μου, κάποιοι μάλλον υπολογίζουν ότι στις φρεγάτες Belhara όλα θα είναι αυτοματοποιημένα!

ΚΠ

ΤΟ ΒΗΜΑ - Ο Ναζισμός και το «εύσημο» του Κακού

Σκέψεις πάνω στην ιδέα του Κακού, με αφορμή την επανεμφάνιση νεοναζιστικής «σκιάς» στο ελληνικό Κοινοβούλιο.

Οι πρόσφατες επαναληπτικές εθνικές εκλογές ανέδειξαν ένα άγνωστο, ως χθες, πολιτικό κόμμα, το οποίο στηρίχθηκε ανοιχτά (αν όχι καθοδηγήθηκε υπόγεια) από ηγετικό στέλεχος του νεοναζιστικού χώρου, καταδικασμένο σε φυλάκιση για εγκληματική δράση. Είναι μία επιστροφή του εν λόγω χώρου στη Βουλή «από την πίσω πόρτα», παρά τα ad hoc νομικά αναχώματα που είχαν τεθεί για να αποτρέψουν αυτό το ενδεχόμενο. Πρόκειται, θα λέγαμε, για μία «κοινοβουλευτική επανακανονικοποίηση» του εγχώριου νεοναζισμού.

Βέβαια, το κόμμα αυτό δεν είναι το μοναδικό από τον χώρο της άκρας Δεξιάς που θα φιλοξενηθεί στη νέα Βουλή (ας μην ξεχνάμε ότι σε αυτήν εμφιλοχώρησαν ακόμα και εκπρόσωποι του πιο ακραίου θρησκευτικού φονταμενταλισμού [1] με ιδιαίτερους δεσμούς με το αντιδημοκρατικό καθεστώς της Ρωσίας). Εν τούτοις, η ιδέα μίας – έμμεσης, έστω, και δι’ αντιπροσώπων – κοινοβουλευτικής επανεμφάνισης του νεοναζισμού, αφήνει την αίσθηση μιας γροθιάς στο στομάχι. Η εξήγηση γι’ αυτή την ανακλαστική αντίδραση βρίσκεται στις πιο σκοτεινές σελίδες της παγκόσμιας Ιστορίας...

Είναι γεγονός αναμφισβήτητο ότι, στη συνείδηση του δημοκρατικού ανθρώπου, ο Ναζισμός διατηρεί προεξάρχουσα θέση στην κλίμακα του ανθρώπινου Κακού. Για κάποιους μελετητές του Ολοκαυτώματος, μάλιστα, δεν έχουμε εδώ να κάνουμε με το συμβατικό «ανθρώπινο» Κακό αλλά με κάτι που ξεπερνά κι αυτά ακόμα τα ανθρώπινα μέτρα.

Σε ένα παλιό κείμενο [2] είχαμε επιχειρήσει να εξετάσουμε το ζήτημα αυτό από φιλοσοφική άποψη. Το παρόν σημείωμα θα μπορούσε να ιδωθεί σαν προέκταση εκείνων των σκέψεων, με αφορμή την είσοδο ενός ακόμα κατ’ ουσίαν νεοναζιστικού κόμματος στο ελληνικό Κοινοβούλιο.

Παρά τα 6 εκατομμύρια των θυμάτων του Ολοκαυτώματος και τις φρικιαστικές αποκαλύψεις των εγκλημάτων του Ναζισμού, η ναζιστική ιδεολογία εξακολουθεί να ασκεί κάποιο βαθμό γοητείας σε ένα πολύ μικρό αλλά πάντα επικίνδυνο ποσοστό της παγκόσμιας κοινότητας. Αντισυστημικές ρητορείες με κρυπτο-ναζιστική (έως φιλο-ναζιστική) απόχρωση ακούγονται όλο και πιο ανοιχτά σε χώρες της δημοκρατικής Ευρώπης, ενώ ανομολόγητες ιδεολογικές «συμπάθειες» μπορεί κάποιος να διακρίνει ακόμα και μέσα σε κόμματα του δημοκρατικού τόξου.

Έτσι, μία αναλυτική προσέγγιση στο φαινόμενο του Ναζισμού δεν αποτελεί αποκλειστικό αντικείμενο της Ιστορίας αλλά, δυστυχώς, αφορά ένα πολιτικό και φιλοσοφικό ζήτημα που διατηρείται ζωντανό ως τις μέρες μας.

Για το συντριπτικά μεγάλο ποσοστό των ανθρώπων, εκείνων δηλαδή που δεν έχουν «μολυνθεί» από ναζιστικές ιδέες, η ηθική αξιολόγηση του Ναζισμού είναι δεδομένη και αυτονόητη: Οι Ναζί ήταν εκπρόσωποι του ακραίου, του απόλυτου Κακού. Μία βαθύτερη εξέταση του θέματος, εν τούτοις, επιβάλλει ιδιαίτερη προσοχή σε ό,τι αφορά τη χρήση του όρου «κακό». Το παρακάτω απλοϊκό ερώτημα μοιάζει σχεδόν ρητορικό:

– Ήταν ο Ναζισμός κακός;

Αν απαντήσουμε καταφατικά, έχουμε πέσει σε μία φοβερή παγίδα που άθελά μας στήσαμε μόνοι μας: Δώσαμε στον Ναζισμό ανθρώπινο πρόσωπο! Ας μου επιτραπεί να εξηγήσω:

Το κακό – ακόμα και στην ακραία εκδοχή του – σχετίζεται με την ηθική διαβάθμιση του ανθρώπινου χαρακτήρα. Έξω από τον άνθρωπο δεν υπάρχει «καλό» ή «κακό». Έτσι, αν χαρακτηρίσουμε τον Χίτλερ ως «κακό», του έχουμε αυτομάτως αναγνωρίσει την ανθρώπινη ιδιότητα. Την οποία αμφίβολο είναι ότι εκείνος και το καθεστώς του έφεραν.

Τι είναι, όμως, αυτό που καθορίζει και οριοθετεί την ανθρώπινη ιδιότητα; Απόλυτη απάντηση δεν υπάρχει έξω από το σαφές πλαίσιο που ορίζει η βιολογία. Αν, εν τούτοις, δεχθούμε τον άνθρωπο κατά κύριο λόγο ως ηθικό μέγεθος, τότε μπορούμε να πούμε ότι το κριτήριο που επιβεβαιώνει ή απορρίπτει, ανάλογα, την πιο πάνω ιδιότητα, είναι η αυτοσυνειδησία. Συγκεκριμένα, πώς τοποθετεί το άτομο τον εαυτό του μέσα στο πλέγμα της αιτιότητας.

Ο άνθρωπος παράγει αιτιότητα αλλά και υπόκειται σε αυτήν. Δηλαδή, συμμετέχει στην αιτιακή αλυσίδα τόσο ως γενεσιουργό αίτιο, όσο και ως υποκείμενο αποτέλεσμα. Ειδική σημασία για την παρούσα συζήτηση έχει το κομμάτι της αιτιότητας που αφορά τις ανθρώπινες σχέσεις. Ένα άτομο, λοιπόν, μπορεί να επηρεάσει τη ζωή ενός άλλου ατόμου, το οποίο, με τη σειρά του, μπορεί να επηρεάσει τη ζωή του πρώτου. Σε ακραία περίπτωση, ένας άνθρωπος μπορεί να σκοτώσει κάποιον άλλον αλλά και να σκοτωθεί από εκείνον. Αυτή η αμφίδρομη σχέση με την αιτιότητα αποτελεί, εξ ορισμού, μέρος της αυτοσυνειδησίας κάθε ατόμου ή, συλλογικά, κάθε κοινωνικής ομάδας.

Υπάρχει, εν τούτοις, μία ακραία παρέκκλιση από τον τελευταίο αυτό κανόνα. Πρόκειται για τον συνειδησιακό τύπο που πιστεύει – και δεν διστάζει να επιβάλει ακόμα και με τη βία την πίστη του αυτή – ότι δικαιούται να επηρεάζει την αιτιότητα χωρίς να υπόκειται σε αυτήν. Ο τύπος αυτός, δηλαδή, έχει συνειδητά απαρνηθεί την ανθρώπινη ιδιότητά του, απονέμοντας αυθαίρετα στον εαυτό του έναν ανώτερο ρόλο: αυτόν ενός οιονεί «θεού»!

Στην κατηγορία αυτή ανήκαν οι Ναζί. Όπως έχουμε σημειώσει [2] θεωρούσαν τους εαυτούς τους ως εκπρόσωπους μίας φυσικής Αρχής που είχε το απόλυτο δικαίωμα να αποφασίζει για την ύπαρξη ή τον αφανισμό οποιασδήποτε κοινωνικής ομάδας, οσοδήποτε μεγάλης, χωρίς η ίδια αυτή «Αρχή» να υπόκειται σε άνωθεν έλεγχο ή έξωθεν αμφισβήτηση της παντοδυναμίας της.

Αυτό που καθιστά το ναζιστικό καθεστώς μοναδικό ανάμεσα σε άλλα ρατσιστικά καθεστώτα είναι το γεγονός ότι, υπερβαίνοντας τα όρια του «απλού» κοινωνικού διαχωρισμού, επιδόθηκε σε φυλετική εξόντωση. Στο πλαίσιο της μαζικής αυτής δολοφονίας, οι Ναζί λειτούργησαν σαν «θεοί» που μπορούσαν να επιλέξουν αυθαίρετα σε ποιο ανθρώπινο είδος θα εκχωρούσαν το δικαίωμα στη ζωή, και σε ποιο είδος θα το αρνούνταν και θα το καταργούσαν.

Έχει ιδιαίτερη σημασία να τονιστεί εδώ ότι η εξόντωση δεν ήταν πράξη αυτοσυντήρησης του χιτλερικού καθεστώτος απέναντι σε μία ανθρώπινη ομάδα που το απειλούσε, αλλά αποτέλεσμα και μόνο της διαστροφικής ιδεολογίας του Ναζισμού. Και αυτό ακριβώς είναι που κάνει το ναζιστικό καθεστώς να ξεχωρίζει από άλλα εγκληματικά καθεστώτα, όπως εκείνο του Στάλιν. (Σε ένα παλιότερο κείμενο [3] είχαμε αναφερθεί αναλυτικά στα εγκλήματα των δύο αιμοσταγών δικτατόρων του εικοστού αιώνα.)

Συμπερασματικά, η παρέκκλιση από την ανθρώπινη αυτοσυνειδησία, κι ακόμα περισσότερο η διάπραξη μαζικού εγκλήματος στη βάση της παρέκκλισης αυτής, αυτοδικαίως αφαιρεί από τους δολοφόνους το προνόμιο να θεωρούνται άνθρωποι. Συνεπώς, το να χαρακτηρίζουμε απλοϊκά τους Ναζί ως «κακούς» συνιστά τιμή για εκείνους, αφού το κακό αποτελεί διαβάθμιση του ανθρώπινου χαρακτήρα. Με τον τρόπο αυτό, δηλαδή, τους προβιβάζουμε άθελά μας σε ανθρώπους, κάτι που οι Ναζί είναι αμφίβολο πως ήταν. Ο Ναζισμός δεν δικαιούται το «εύσημο» του Κακού!

Για τον λόγο αυτό, αν και θα ήταν λάθος να υπερεκτιμήσουμε φοβικά το πολιτικό μέγεθος ενός νεοεμφανιζόμενου, στα κοινοβουλευτικά πράγματα, πολιτικού κόμματος που αναφανδόν εισπράττει νεοναζιστικά εγκώμια, στις συνειδήσεις μας το κόμμα αυτό θα συνδέεται αναπόφευκτα με τις σκοτεινότερες και πιο αποκρουστικές σελίδες της παγκόσμιας Ιστορίας.

[1] https://www.tovima.gr/2023/06/08/opinions/thriskeytikos-fontamentalismos-kai-atomika-dikaiomata/

[2] https://www.tovima.gr/2016/03/29/opinions/o-xitler-kai-i-filosofiki-thewrisi-toy-kakoy/

[3] https://www.tovima.gr/2019/11/08/opinions/xitler-kai-stalin-sti-zygaria-tou-kakou/

ΤΟ ΒΗΜΑ

Ναζισμός: Μια ηθικο-φιλοσοφική προσέγγιση στο Απόλυτο Κακό

               

Όσο κι αν ψάξει κάποιος στις σελίδες της Ιστορίας, δύσκολα θα συναντήσει μαζικά εγκλήματα τόσο διαστροφικά όσο εκείνα που διέπραξε το καθεστώς του Άντολφ Χίτλερ στο διάστημα (1933-1945) που κατείχε την εξουσία στη Γερμανία. Αυτό που προσδίδει στο ναζιστικό καθεστώς τον χαρακτήρα της διαστροφής δεν είναι απλά και μόνο η ρατσιστική του φύση (ρατσιστικά καθεστώτα υπήρξαν, δυστυχώς, και αλλού) αλλά το γεγονός ότι ο ρατσισμός δεν αρκέστηκε σε κοινωνικούς διαχωρισμούς και «ειδικές μεταχειρίσεις» αλλά προχώρησε σε μαζική δολοφονία εκατομμυρίων ανθρώπων, με πράξεις που χαρακτηρίστηκαν από απίστευτη κτηνωδία.

Αν και τα εγκλήματα του ναζισμού όλο και λιγότερο αποτελούν θέμα ακαδημαϊκής συζήτησης στην εποχή μας (ας μην ξύνουμε πληγές τώρα!), επιχειρήσαμε με μία σειρά κειμένων να προσεγγίσουμε το φαινόμενο μέσα από καθαρά ηθικο-φιλοσοφική σκοπιά. Η προσέγγιση αυτή εστιάζει σε τρία βασικά ζητήματα:

1. Το ηθικό ζήτημα: Γιατί στην κοινή συνείδηση το χιτλερικό καθεστώς είναι ταυτισμένο με το Απόλυτο Κακό;

2. Το γνωσιολογικό ζήτημα: Είναι καταρχήν εφικτή η ερμηνεία του μαζικού εγκλήματος στο πλαίσιο της ιστορικής αιτιότητας;

3. Το εθνο-φυλετικό ζήτημα: Είναι ο «γερμανικός χαρακτήρας» ή οι ιστορικές συγκυρίες ο παράγοντας εκείνος που επέτρεψε στον Χίτλερ να διαπράξει με τόση ευκολία ένα έγκλημα τέτοιων διαστάσεων;

Παραθέτω μία σειρά δημοσιευμένων κειμένων που πραγματεύονται τα πιο πάνω ζητήματα (μαζί με σχετικό video), τονίζοντας εμφατικά ότι δεν αποτελούν ιστορικές μελέτες (δεν θεωρώ τον εαυτό μου επιστημονικά επαρκή για ένα τέτοιο εγχείρημα!) αλλά εκφράζουν, απλά, μερικές προσωπικές σκέψεις πάνω σε ένα ιστορικό θέμα που τείνει σήμερα να μας ευαισθητοποιεί λιγότερο απ’ όσο θα ‘πρεπε. Ας μην ξεχνούμε, εν τούτοις, ότι η Ιστορία έχει κάποιες φορές την τάση να επαναλαμβάνεται. Είτε ως τραγωδία, είτε ως φάρσα...

Διαβάστε τα κείμενα εδώ

Δείτε σχετικό Video

Η άνοδος των Ναζί στην εξουσία

Πώς θα ήταν να "ζούσαμε" στον Τιτανικό σήμερα;

Η υδροστατική θεωρία και ο κλασικός ηλεκτρομαγνητισμός δίνουν μία εικόνα των φυσικών συνθηκών που επικρατούν στο ναυάγιο του Τιτανικού, στον βυθό του Ατλαντικού.

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Η ιστορία είναι γνωστή: Η ανθρώπινη ματαιοδοξία, μαζί με την τεχνολογική αλαζονεία, κατασκεύασαν ένα "αβύθιστο" πλοίο που - πίστευαν - δεν θα χρειαζόταν καν σωστικές λέμβους (παρά μόνο λίγες, ως διακοσμητικά) και θα μπορούσε να τρέχει στους ωκεανούς με ταχύτητες πάνω από τα όρια ασφαλείας της εποχής. Του έδωσαν το υπεροπτικό όνομα ΤΙΤΑΝΙΚΟΣ. Η πρόσκρουσή του στο παγόβουνο και η εν συνεχεία βύθισή του στον Ατλαντικό κατά το παρθενικό του ταξίδι, στις 15 Απριλίου του 1912, αποτελεί ίσως την τραγικότερη έκφραση μεταφυσικής ειρωνείας στη νεότερη Ιστορία...

Εικόνα: Το παγόβουνο στο οποίο προσέκρουσε ο Τιτανικός. Η φωτογραφία τραβήχτηκε λίγες ώρες μετά το ναυάγιο, στη θαλάσσια περιοχή όπου αυτό είχε λάβει χώρα. Πάνω στο παγόβουνο υπήρχαν τα σημάδια από τη μπογιά του πλοίου!

Το ναυάγιο του Τιτανικού βρίσκεται - σπασμένο σε δύο κομμάτια - στον βυθό του Βόρειου Ατλαντικού Ωκεανού, σε βάθος περίπου 3.8 χιλιομέτρων. Για να εκτιμήσουμε τις φυσικές συνθήκες που επικρατούν εκεί κάτω, θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε δύο φαινόμενα που υφίστανται σε τέτοια βάθη: την τρομακτική υδροστατική πίεση και το απόλυτο σκοτάδι.

    Μια πίεση για βαθυσκάφη!

Η ατμοσφαιρική πίεση στην οποία έχουμε μάθει να ζούμε είναι ίση με μία ατμόσφαιρα (atm), ισοδύναμη με 760 mm στήλης υδραργύρου. Έχει υπολογιστεί ότι η υδροστατική πίεση στο εσωτερικό της θάλασσας αυξάνει κατά περίπου 1 atm για κάθε 10 μέτρα βάθους. Έτσι, σε βάθος 3.800 μέτρων η πίεση είναι κάπου 380 φορές μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική. Αν, λοιπόν, σκοπεύουμε να επισκεφθούμε τον Τιτανικό (μοιραία απόφαση, δυστυχώς, για πέντε συνανθρώπους μας πρόσφατα), καλό θα είναι να το επιχειρήσουμε χρησιμοποιώντας ένα βαθυσκάφος σχεδιασμένο να αντέχει σε εξαιρετικά υψηλές πιέσεις!

    Γιατί τόσο σκοτάδι εκεί κάτω;

Ο James Clerk Maxwell (1831-1879) θεωρείται ως ο κορυφαίος θεωρητικός Φυσικός του 19ου αιώνα. Κατά μία περίεργη σύμπτωση, πέθανε τη χρονιά που γεννήθηκε ο Αϊνστάιν (όπως ο Νεύτωνας γεννήθηκε τη χρονιά που πέθανε ο Γαλιλαίος). Ο Maxwell υπήρξε ο "πατέρας" του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού, όπως αυτός διδάσκεται ως σήμερα στις σχολές θετικών επιστημών.

Ο Maxwell περιέγραψε την χωροχρονική συμπεριφορά του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με τέσσερις μαθηματικές εξισώσεις που φέρουν το όνομά του (εξισώσεις του Maxwell). Με βάση αυτές έκανε μία φοβερή πρόβλεψη που, δυστυχώς, δεν πρόλαβε να την δει να επαληθεύεται πειραματικά: Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο διαδίδεται στον χώρο σαν κύμα που ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός (ηλεκτρομαγνητικό κύμα). Και, όπως μας πληροφορούν οι ίδιες οι εξισώσεις του Maxwell, όταν ένα τέτοιο κύμα προσπίπτει στην επιφάνεια ενός υλικού μέσου που έχει ηλεκτρική αγωγιμότητα, ένα μέρος του κύματος ανακλάται στην επιφάνεια του μέσου και γυρίζει πίσω (π.χ., στον αέρα), ενώ ένα άλλο μέρος διεισδύει στο αγώγιμο μέσο και, τελικά, απορροφάται χωρίς να ξεπεράσει ένα ορισμένο μέγιστο βάθος (επιδερμικό βάθος).

Η θάλασσα περιέχει άλατα, μέρος των οποίων είναι στη μορφή ηλεκτρικά φορτισμένων ιόντων. Έτσι, η θάλασσα μπορεί να θεωρείται ηλεκτρικά αγώγιμο μέσο. Από την άλλη μεριά, όπως έδειξε ο Maxwell, το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, όταν το φως του ήλιου πέφτει στην επιφάνεια της θάλασσας, ένα μέρος του ανακλάται ενώ ένα άλλο μέρος διεισδύει και απορροφάται σε σχετικά μικρά βάθη.

Φανταστείτε τώρα τι μπορεί να συμβαίνει σε βάθος περίπου 4 χιλιομέτρων στη θάλασσα. Κανένα φως δεν μπορεί να φτάσει ως εκεί, και έτσι το μόνο που θα "βλέπαμε" θα ήταν το απόλυτο σκοτάδι!

Να σημειώσουμε, τέλος, ότι η απορρόφηση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων καθιστά το radar ένα όχι χρήσιμο εργαλείο για την ανίχνευση υποθαλάσσιων αντικειμένων σε μεγάλα βάθη. Για τη δουλειά αυτή χρησιμοποιείται το sonar που εκπέμπει ηχητικά κύματα, τα οποία διαδίδονται δίχως πρόβλημα μέσα στο νερό της θάλασσας.

    Ο Τιτανικός στο σινεμά

Με την ευκαιρία αυτής της συζήτησης, δείτε την καλύτερη ταινία (κατά τη γνώμη μας) που γυρίστηκε ποτέ με θέμα το στοιχειωμένο πλοίο: "A Night to Remember", παραγωγής 1958.

KLIK

Amplitude dependence of period in one-dimensional periodic motion

Μια γενική περιοδική κίνηση σε μία διάσταση δεν είναι απαραίτητα αρμονική ταλάντωση όπου η ολική δύναμη είναι της μορφής  F = - kx  και η δυναμική ενέργεια είναι τετραγωνική συνάρτηση του x (εξίσωση παραβολής). Στη γενική περίπτωση, η περίοδος της κίνησης εξαρτάται από το πλάτος ταλάντωσης, άρα και από την ολική μηχανική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος. Όπως αποδεικνύεται στο πιο κάτω παιδαγωγικό άρθρο, η αρμονική ταλάντωση αποτελεί μοναδική εξαίρεση μονοδιάστατης περιοδικής κίνησης όπου η περίοδος είναι ανεξάρτητη του πλάτους ταλάντωσης, άρα και της ολικής ενέργειας του κινητού.

Δείτε το άρθρο

Debunking the myth of a "flat Earth" (An elementary introduction to non-Euclidean geometry)

Even if we weren’t able to view the Earth from outer space, an experiment performed on the surface of the Earth would reveal that this surface is not flat, since the axioms of Euclidean geometry do not apply on it.

The simplest possible introduction to non-Euclidean geometry!

Read the article

Greek version

Σκέψεις πάνω στην αξιωματική θεμελίωση της Νευτώνειας Μηχανικής

Η απόλυτη ισχύς της Νευτώνειας Μηχανικής αμφισβητήθηκε τόσο από την Κβαντομηχανική, όσο και από τη Σχετικότητα. Και όμως, το δημιούργημα του Νεύτωνα είναι ακόμα ανοιχτό σε σημαντικές θεωρητικές διερευνήσεις και αξιωματικές αναθεωρήσεις!

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Στο εισαγωγικό μάθημα της κλασικής Μηχανικής, οι πρωτοετείς μου καταφέρνουν συχνά να με εντυπωσιάζουν. Έχοντας πρόσφατη την εμπειρία των πανελλήνιων εξετάσεων και ζωντανές ακόμα στο μυαλό τους τις γνώσεις που αποκόμισαν από το λύκειο, μπορούν να λύσουν τις πιο στρυφνές και απαιτητικές ασκήσεις με τόση ευκολία που, ομολογώ, κι εμένα ακόμα με τρομάζει!

Από την άλλη, εισπράττω ενδιαφέρουσες απαντήσεις σε ερωτήματα εννοιολογικής φύσης. Για παράδειγμα, όταν ζητώ την διατύπωση του Νόμου της Αδράνειας με βάση εκείνα που γνωρίζουν από το λύκειο, οι περισσότεροι αναφέρονται στην αντίσταση των υλικών σωμάτων σε κάθε προσπάθεια μεταβολής της κινητικής τους κατάστασης. Όταν αντιλέγω ότι αυτό ορίζει τι είναι αδράνεια αλλά δεν διατυπώνει τον νόμο που την αφορά, γίνονται πιο συγκεκριμένοι: «Κάθε σώμα έχει την τάση να διατηρεί την κινητική του κατάσταση αν πάνω του δεν ασκείται ολική δύναμη διάφορη του μηδενός.»

Ωραία, θα πείτε, μην τα βασανίζεις άλλο τα παιδιά, καλά σου τα είπαν τώρα! Όμως, ο υποχόνδριος και ξενέρωτος δάσκαλος επιμένει: Κινητική κατάσταση ως προς τι; Και, σε σχέση με ποιους παρατηρητές; Όλους, γενικά, ή κάποιους με πολύ συγκεκριμένες ιδιότητες;

Είναι τότε η ώρα να μιλήσουμε για τον λεγόμενο αδρανειακό παρατηρητή. Κάποιον, δηλαδή, ως προς τον οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (ένα σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμα και ομαλά) είτε δεν κινείται καθόλου. Αυτός και μόνο αυτός έχει το δικαίωμα να χρησιμοποιεί στο δικό του σύστημα συντεταγμένων (αδρανειακό σύστημα αναφοράς) τους νόμους του Νεύτωνα (Isaac Newton, 1643–1727) και, ειδικά, τον Πρώτο Νόμο, αυτόν της Αδράνειας.

Βέβαια, δεν μπορεί κάποιος να απαιτήσει από παιδιά που μόλις τέλειωσαν το λύκειο να έχουν απόλυτα ξεκαθαρίσει μέσα τους λεπτές έννοιες της Μηχανικής που έχουν φέρει σε δύσκολη θέση γενιές Φυσικών! Έννοιες που συνεχίζουν να προβληματίζουν τον σκεπτόμενο φοιτητή των θετικών επιστημών στα μεγαλύτερα πανεπιστήμια του κόσμου...

Γράμμα από έναν Αμερικανό φοιτητή

Πριν μερικά χρόνια έλαβα ένα email από έναν ιδιαίτερα ευφυή και φιλομαθή φοιτητή θετικών επιστημών σε Πανεπιστήμιο του Τέξας. Έχοντας διαβάσει κάποιο δημοσιευμένο παιδαγωγικό άρθρο μου πάνω στη Νευτώνεια Μηχανική [1] απευθύνθηκε σε εμένα με ένα σχεδόν εναγώνιο ερώτημα: Είναι οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα αληθινά ανεξάρτητοι μεταξύ τους, ή μήπως ο πρώτος νόμος δεν είναι παρά ειδική περίπτωση του δεύτερου;

Σε κάποιους Φυσικούς, ιδιαίτερα αυτούς που διδάσκουν κλασική Μηχανική, το ερώτημα ίσως φαίνεται στοιχειώδες. Σπεύδω, εν τούτοις, να σημειώσω ότι το ζήτημα της ανεξαρτησίας των Νευτώνειων νόμων έχει προκαλέσει μεγάλη σύγχυση από την εποχή ακόμα του Νεύτωνα. Μάλιστα, έτυχε πρόσφατα να διαβάσω εκπαιδευτικό άρθρο σε κάποιο πανεπιστημιακό site του εξωτερικού, το οποίο άρθρο μεταξύ άλλων ανέφερε ότι ο νόμος της αδράνειας (ο πρώτος νόμος) είναι άμεση συνεπαγωγή του δεύτερου νόμου. Ο καλός φοιτητής, λοιπόν, απλά έπεσε θύμα της παραπάνω σύγχυσης που, ως φαίνεται, καλά κρατεί!

Του απάντησα αμέσως εξηγώντας του ότι, χωρίς τον πρώτο νόμο, ο δεύτερος θα έχανε τη σημασία του. Ή μάλλον, θα ήταν εντελώς λανθασμένος στη διατύπωσή του, αφού θα έδινε την εντύπωση μιας γενικής αρχής που ισχύει ανεξάρτητα από την κινητική κατάσταση του παρατηρητή, πράγμα που ασφαλώς δεν ισχύει. Με άλλα λόγια, ο νόμος της αδράνειας ορίζει το «τερέν» μέσα στο οποίο διατυπώνεται και ισχύει ο δεύτερος νόμος. Όπως έγραψα στον φοιτητή, το να εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη τον πρώτο, είναι σαν να επιχειρούμε να παίξουμε ποδόσφαιρο χωρίς να διαθέτουμε γήπεδο ποδοσφαίρου!

Ο νόμος της αδράνειας, λοιπόν, δεν είναι απόρροια αλλά, κατά κάποιον τρόπο, προϋπόθεση ισχύος του δεύτερου νόμου. Τα ερωτήματα όμως δεν σταματούν εδώ: Ακόμα κι αν δεχθούμε την ανεξαρτησία των νόμων του Νεύτωνα μεταξύ τους, είναι το σύστημα των τριών αυτών νόμων επαρκές ως βάση για την ανάπτυξη της κλασικής θεωρίας;

Πριν προχωρήσουμε, ας δούμε τους νόμους συνοπτικά...

Οι Νόμοι του Νεύτωνα, όπως τους ξέρουμε

Ο Πρώτος Νόμος (νόμος της αδράνειας) εγγυάται την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Ως τέτοιο σύστημα εννοούμε ένα σύστημα συντεταγμένων ως προς το οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) κινείται με σταθερή ταχύτητα (ή, ισοδύναμα, χωρίς επιτάχυνση).

Ο Δεύτερος Νόμος ορίζει ότι, ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η επιτάχυνση ενός σωματιδίου είναι ανάλογη της ολικής δύναμης που ασκείται πάνω του.

Σύμφωνα με τον Τρίτο Νόμο ή νόμο δράσης-αντίδρασης, όταν δύο σωματίδια αλληλεπιδρούν, οι δυνάμεις που ασκεί το ένα στο άλλο είναι ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης.

Όμως, ποια είναι η «ολική δύναμη» πάνω σε ένα σωμάτιο, στην οποία αναφέρεται ο δεύτερος νόμος; Αυτό δεν μας το λένε οι νόμοι του Νεύτωνα! Την απάντηση έδωσε ο Ελβετός φυσικομαθηματικός Ντάνιελ Μπερνούλι (Daniel Bernoulli, 1700–1782) μετά τον θάνατο του Νεύτωνα, διατυπώνοντας την αρχή της επαλληλίας. Σύμφωνα με αυτήν, αν ένα σώμα υπόκειται σε διάφορες αλληλεπιδράσεις, η ολική δύναμη πάνω του είναι το (διανυσματικό) άθροισμα των δυνάμεων από κάθε αλληλεπίδραση χωριστά.

Μια εναλλακτική αξιωματική θεώρηση

Με βάση αυτά που προαναφέρθηκαν, η κλασική Νευτώνεια Μηχανική βασίζεται σε τέσσερις θεμελιώδεις αρχές: τους τρεις νόμους του Νεύτωνα και την αρχή της επαλληλίας. Σχετικά πρόσφατα, όμως [1] τέθηκε ένα αναθεωρητικό ερώτημα: Μήπως, τελικά, τέσσερις νόμοι είναι «πάρα πολλοί»; Αυτό οδήγησε στο, ας το πούμε, ανακάτεμα και ξαναμοίρασμα της τράπουλας, με ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα: Με κατάλληλη διατύπωση, οι νόμοι της Μηχανικής μπορούν να συμπυκνωθούν στη μορφή δύο μόνο ανεξάρτητων αξιωμάτων. Προσοχή: Δεν πετάμε τους δύο από τους τέσσερις αρχικούς νόμους και κρατούμε τους άλλους δύο, αλλά αναδιατυπώνουμε την αξιωματική βάση της Μηχανικής με τρόπο ώστε οι ανεξάρτητες αρχές να είναι δύο αντί τέσσερις. Φυσικά, από τα δύο θεμελιώδη αξιώματα προκύπτουν, μεταξύ άλλων, ως ειδικά συμπεράσματα οι γνωστοί νόμοι της Νευτώνειας Μηχανικής.

Το πρώτο αξίωμα (θα το ονομάσουμε Α1), το οποίο στη Νευτώνεια Μηχανική προκύπτει από τους βασικούς νόμους ως παράγωγο θεώρημα, λαμβάνεται εδώ ως θεμελιώδης αρχή. Εκφράζει την αρχή διατήρησης της ορμής [2] για ένα απομονωμένο σύστημα σωματιδίων και, έμμεσα, αξιώνει την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Στην ειδική περίπτωση απομονωμένου «συστήματος» που περιέχει ένα μόνο σωματίδιο, το αξίωμα Α1 ανάγεται στον νόμο της αδράνειας (πρώτο νόμο του Νεύτωνα).

Το δεύτερο αξίωμα (Α2) το γνωρίσαμε ήδη: είναι η αρχή της επαλληλίας, διατυπωμένη όμως λίγο διαφορετικά: Η μεταβολή της ορμής που προκαλεί σε ένα σωματίδιο ένα σύνολο αλληλεπιδράσεων, είναι ίση με το (διανυσματικό) άθροισμα των μεταβολών που θα προκαλούσε κάθε αλληλεπίδραση χωριστά.

Αν προσέξατε, μέχρι στιγμής πουθενά δεν εμφανίζεται η έννοια της δύναμης, η οποία αποτελεί την πεμπτουσία του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα! Αυτό συμβαίνει διότι η δύναμη ορίζεται εδώ απλά ως ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Με τον ορισμό αυτό, το αξίωμα Α2 οδηγεί στην κλασική διατύπωση της αρχής της επαλληλίας που, όπως είπαμε νωρίτερα, οφείλεται στον Μπερνούλι.

Χρησιμοποιώντας τώρα τα αξιώματα Α1 και Α2, καθώς και τον ορισμό της δύναμης, μπορούμε να αποδείξουμε ως θεώρημα κάτι που στη Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί αξίωμα: τον νόμο δράσης-αντίδρασης (τρίτο νόμο του Νεύτωνα). Άλλα σημαντικά θεωρήματα που μπορεί να αποδειχθούν είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής, το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας, η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, κλπ.

Προβλήματα που παραμένουν...

Η οικονομικότερη αναδιατύπωση της αξιωματικής βάσης της Νευτώνειας Μηχανικής δεν απαλλάσσει, βέβαια, την κλασική θεωρία από τα εγγενή προβλήματά της. Πρώτα και κύρια, η θεωρία αυτή παύει να ισχύει σε έναν κόσμο πολύ υψηλών ταχυτήτων ή πολύ μικροσκοπικών διαστάσεων, δίνοντας τη θέση της στη Θεωρία της Σχετικότητας και την Κβαντική Θεωρία, αντίστοιχα. Υπάρχουν όμως προβλήματα ακόμα και στις συμβατικές περιοχές εφαρμογής της κλασικής θεωρίας. Ας δούμε τα κατά τη γνώμη μου πιο σημαντικά:

1. Το πρόβλημα των «αδρανειακών» συστημάτων αναφοράς

Απόλυτα αδρανειακά συστήματα αναφοράς δεν είναι δυνατό να υπάρχουν. Πράγματι, για να διαπιστώσουμε αν ένα σύστημα αναφοράς είναι αδρανειακό θα πρέπει να εξετάσουμε αν, ως προς αυτό, ένα οποιοδήποτε ελεύθερο σωμάτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα (δηλαδή, χωρίς επιτάχυνση). Όμως, η έννοια του ελεύθερου σωματίου είναι καθαρά θεωρητική και κανένα σωμάτιο στον κόσμο δεν μπορεί στην πραγματικότητα να θεωρείται ελεύθερο, για τους εξής λόγους: (α) Κάθε υλικό σωμάτιο υπόκειται στη βαρυτική έλξη που του ασκεί ο υπόλοιπος υλικός κόσμος, όσο μακριά κι αν βρίσκεται το σωμάτιο από αυτόν. (β) Για να διαπιστώσουμε αν ένα σωμάτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα θα πρέπει κάπως να αλληλεπιδράσουμε μαζί του (π.χ., να το φωτίσουμε ρίχνοντας πάνω του έναν ικανό αριθμό φωτονίων). Έτσι, στη διάρκεια της αλληλεπίδρασης το σωμάτιο δεν μπορεί πλέον να θεωρείται ελεύθερο.

2. Το πρόβλημα του ταυτόχρονου

Στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα (ο οποίος, όπως προαναφέραμε, προκύπτει ως θεώρημα στη δική μας προσέγγιση) η αντίδραση θεωρείται ότι λαμβάνει χώρα ταυτόχρονα με τη δράση. Αυτό σημαίνει ότι ένα σωματίδιο μπορεί να αλληλεπιδρά άμεσα (σε μηδενικό χρόνο) με ένα άλλο, όσο μακριά και αν βρίσκονται αυτά μεταξύ τους. Κάτι τέτοιο, βέβαια, προϋποθέτει άπειρη ταχύτητα διάδοσης της αλληλεπίδρασης. Όπως γνωρίζουμε, όμως, καμία αλληλεπίδραση δεν μπορεί να διαδοθεί με ταχύτητα μεγαλύτερη από εκείνη του φωτός!

Επίλογος

Αποτελούν τα όσα αναφέραμε πιο πάνω την τελευταία λέξη πάνω στη Νευτώνεια Μηχανική; Και βέβαια όχι! Η φοβερή αυτή θεωρία παραμένει «ζωντανή» και επιδεκτική σε πιθανές νέες αναθεωρήσεις σε ό,τι αφορά την αξιωματική της θεμελίωση. Και, έστω κι αν η Σχετικότητα και η Κβαντομηχανική περιόρισαν το πεδίο εφαρμογής της, ας μην ξεχνούμε ότι η κλασική Μηχανική εξακολουθεί να κυβερνά την ίδια μας την καθημερινότητα. Εκεί που το πολύ γρήγορο και το πολύ μικρό αφορούν, στην καλύτερη περίπτωση, τα αυτοκίνητά μας και τα... ολοένα συρρικνούμενα εισοδήματά μας, αντίστοιχα. Ο Νεύτωνας ήρθε εδώ για να μείνει!

[1] C. J. Papachristou, Foundations of Newtonian Dynamics: An axiomatic approach for the thinking student

Πρωτότυπη δημοσίευση: Nausivios Chora, Vol. 4 (2012) 153-160,

https://nausivios.snd.edu.gr/docs/2012C2.pdf

Σε αναθεωρημένη και εμπλουτισμένη μορφή,

https://arxiv.org/abs/1205.2326

[2] Η ορμή ενός σωματιδίου είναι το γινόμενο της μάζας του επί την ταχύτητά του.

KLIK

Διαλεκτική: Από τη Φιλοσοφία ως την Φυσικομαθηματική Επιστήμη

Πώς μέσω της Διαλεκτικής τα καταρχήν αντίθετα καθίστανται συμπληρωματικά. Από τη φιλοσοφία ως τα μαθηματικά, κι από τον Hegel και τον Maxwell ως τον Schrödinger, τον Βάγκνερ και τον Λιαντίνη...

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

    Διαλεκτική: Από τον Ηράκλειτο στον Hegel

Σύμφωνα με τον Ίωνα φιλόσοφο Ηράκλειτο (544 - 484 π.Χ.), πίσω από κάθε έκφανση του γίγνεσθαι στο Σύμπαν υπάρχει η εξ αντιθέτων σύσταση και εκ του πολέμου μεταξύ των αντιθέτων διάλυση των πάντων. Αυτό αποτελεί τη βάση της διαλεκτικής αρχής, η οποία διέπει την εξέλιξη κάθε πράγματος στον κόσμο.

Στον Πλάτωνα - φύσει πιο φωτεινό πνεύμα από τον "σκοτεινό" Ηράκλειτο - η (κατά βάση σωκρατική) Διαλεκτική αποκτά διαφορετικό νόημα: είναι η τέχνη τού διαλέγεσθαι, δηλαδή, ο τρόπος να φτάνουμε στην αλήθεια μέσω της σύγκρουσης αντίθετων απόψεων.

Ο Hegel (1770 - 1831) εξελίσσει τις ιδέες του Ηράκλειτου κατά δύο τρόπους: (α) τον απασχολούν οι ιδέες εξίσου με τα φαινόμενα, και (β) σπάζει το απόλυτο δίπολο θέσης - αντίθεσης προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο, αυτό της σύνθεσης. Σύμφωνα με την διαλεκτική αρχή τού Hegel, η εξελικτική πορεία όλων των πραγμάτων και όλων των ιδεών βασίζεται στο τρίπτυχο "θέση - αντίθεση - σύνθεση" ή "κατάφαση - αντίφαση - συμφωνία". Με γενικότερους όρους, "Είναι - Μη είναι - Γίγνεσθαι". Η ουσία της πραγματικότητας συνίσταται μεν στην αντίθεση αλλά εμπεριέχει τη συμφωνία, τη συνδιαλλαγή. Έτσι, μέσα από τη σύνθεση των αντιθέσεων αναζητείται ένα ανώτερο επίπεδο αλήθειας.

Ας δούμε τις ιδέες του Hegel λίγο αναλυτικότερα:

Μία ιδέα δεν είναι ένα πράγμα απόλυτο και στατικό, αλλά αντιπροσωπεύει μια ομάδα σχέσεων. Μπορούμε να σκεφτούμε για κάτι μόνο σε συσχετισμό με κάτι άλλο, αντιλαμβανόμενοι τις ομοιότητες και τις διαφορές τους. Μία ιδέα χωρίς κάποιου είδους σχέσεις είναι κενή περιεχομένου.

Από όλες τις σχέσεις, η πλέον οικουμενική είναι εκείνη της αντίθεσης. Κάθε ιδέα, όπως και κάθε πραγματική κατάσταση, κατευθύνει αυτόματα προς το αντίθετό της και, στη συνέχεια, ενώνεται με αυτό για να σχηματίσουν μία ανώτερη και πιο σύνθετη δομή. Αυτή είναι η διαλεκτική αρχή στην οποία βασίζεται κάθε μορφή εξέλιξης ιδεών και πραγμάτων.

Έτσι, για παράδειγμα, ύλη και πνεύμα, καλό και κακό, κλπ., "διαλέγονται" μεταξύ τους και τελικά συντίθενται σε μία ανώτερη ύπαρξη: τον Άνθρωπο. Με όμοιο τρόπο, Λογική και Μεταφυσική, που εκπροσωπούν δύο καταρχήν αντίθετες φιλοσοφικές σχολές, οριοθετούνται και "συμφιλιώνονται" στην κριτική φιλοσοφία του Καντ.

Σύμφωνα με την παραπάνω θεώρηση, κύρια αποστολή της Φιλοσοφίας είναι η αναζήτηση της ενότητας που εν δυνάμει υπάρχει στη διαφορετικότητα. Αλλά κι η Επιστήμη έχει έναν σημαντικό ρόλο να παίξει...

    Η Διαλεκτική στα Μαθηματικά

Με βάση τη συζήτηση που προηγήθηκε, στο ανώτερο επίπεδο μίας διαλεκτικής σύνθεσης τα καταρχήν ασύμβατα μεταξύ τους καθίστανται συμπληρωματικά. Στα μαθηματικά, η σύνθεση αυτή εκφράζεται συμβολικά με τη γενική σχέση:

    Α * Β = Γ     (1)

όπου τα Α, Β, Γ είναι μαθηματικές έννοιες ή μαθηματικά αντικείμενα, και όπου η σύνθεση (*) των Α και Β μπορεί να είναι μία τυπική πράξη (π.χ., πρόσθεση) ή ένας λογικός σύνδεσμος (π.χ., διάζευξη). Το σύμβολο (=) μπορεί, αντίστοιχα, να δηλώνει μία τυπική ισότητα ή μια λογική ισοδυναμία. Εξ ορισμού, η σχέση Α=Β (ως ισότητα ή ως ισοδυναμία) είναι αδύνατη. Τα Α και Β ανήκουν σε "κόσμους" ασύμβατους μεταξύ τους, οι οποίοι μέσω της σύνθεσης (*) καθίστανται συμπληρωματικοί.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Αν τα Α και Β στη σχέση (1) συμβολίζουν τις έννοιες "άρτιος αριθμός" και "περιττός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "ακέραιος αριθμός" (πράγματι, ένας ακέραιος είναι είτε άρτιος είτε περιττός). Δηλαδή, η έννοια "ακέραιος" αποτελεί σύνθεση των αντίθετων, μεταξύ τους, εννοιών "άρτιος" και "περιττός". Με όμοιο τρόπο, αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "ρητός αριθμός" και "άρρητος αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει και πάλι διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "πραγματικός αριθμός".

2. Αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "πραγματικός αριθμός" και "φανταστικός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) είναι τυπική πρόσθεση, τότε το Γ σημαίνει "μιγαδικός αριθμός". Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τη γνωστή σχέση x+iy=z, όπου τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί ενώ το z είναι μιγαδικός.

3. Μία αυθαίρετη συνάρτηση F(x), που δεν είναι είτε άρτια είτε περιττή, φέρει μέσα της και τις δύο αυτές αντίθετες ιδιότητες [οι οποίες αντιστοιχούν στις έννοιες Α και Β της σχέσης (1)], αφού μπορεί πάντα να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Όμοια, κάθε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα.

4. Πάνω σε ένα επίπεδο, κάθε διάνυσμα V μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο διανυσμάτων κάθετων μεταξύ τους (συνιστώσες τού V). Η καθετότητα μεταξύ των δύο συνιστωσών είναι μία μορφή ασυμβατότητας, με την έννοια ότι δεν υφίσταται μη-μηδενική προβολή της μίας συνιστώσας πάνω στην άλλη.

5. Κάθε διανυσματικό πεδίο V(x,y,z) στον χώρο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός αστρόβιλου και ενός σωληνωτού πεδίου. Τόσο από φυσική, όσο και από γεωμετρική άποψη, οι δύο αυτοί τύποι πεδίου έχουν αντίθετες ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι δυναμικές γραμμές ενός αστρόβιλου πεδίου είναι ανοιχτές (έχουν αρχή και τέλος), ενώ εκείνες ενός σωληνωτού είναι κλειστές. Από φυσική άποψη, ένα σωληνωτό πεδίο δεν μπορεί να έχει μεμονωμένες σημειακές πηγές (πόλους), ενώ ένα αστρόβιλο πεδίο μπορεί να έχει.

    Διαλεκτική και Φυσικές επιστήμες

Η μέσω της σύνθεσης ενοποίηση των αντιθέτων βρίσκει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Όπως πρώτος παρατήρησε ο Αϊνστάιν, το φως συμπεριφέρεται άλλοτε ως σωματίδιο (φωτόνιο) και άλλοτε ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, η έννοια "φως" συντίθεται από δύο ασύμβατες μεταξύ τους φυσικές έννοιες: "σωματίδιο" και "κύμα", όπου η πρώτη περιγράφει διακριτή ποσότητα ενέργειας εντοπισμένης στον χώρο, ενώ η δεύτερη αναφέρεται σε ενέργεια που κατανέμεται στον χώρο με τρόπο συνεχή. Επί πλέον, σύμφωνα με την κβαντομηχανική, και τα ίδια τα σωματίδια της ύλης (όπως, π.χ., το ηλεκτρόνιο) υπό κατάλληλες συνθήκες εμφανίζουν κυματικές ιδιότητες!

2. Η "θεωρία ενοποιημένου πεδίου" επιχειρεί να συνενώσει φαινομενικά διαφορετικά μεταξύ τους πεδία δυνάμεων ώστε να οριστούν γενικότερα και πιο σύνθετα πεδία [1]. Ήδη τον 19ο αιώνα ο James Clerk Maxwell ανακάλυψε ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αποτελούν απλά δύο όψεις ενός πιο σύνθετου πεδίου, του ηλεκτρομαγνητικού. Τον 20ό αιώνα δύο ακόμα πεδία, αυτά της ασθενούς και της ισχυρής δύναμης, εντάχθηκαν στο σχέδιο της ενοποίησης, ενώ συνεχίζονται οι προσπάθειες για να μπει στην "παρέα" και η δύστροπη βαρύτητα.

3. Στον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων και υψηλών ενεργειών, θεωρίες όπως η υπερσυμμετρία επιχειρούν να αναδείξουν την κρυμμένη ενότητα ανάμεσα στα μποζόνια και τα φερμιόνια, τα οποία αποτελούν δύο κατηγορίες σωματίων που οι συλλογικές συμπεριφορές τους δείχνουν εκ διαμέτρου αντίθετες στον κόσμο των χαμηλών ενεργειών όπου ζούμε. Τα μποζόνια - όπως, π.χ., το φωτόνιο - είναι πολύ "κοινωνικά", ενώ τα φερμιόνια - όπως το ηλεκτρόνιο - έχουν την τάση να είναι "μονήρη".

4. Η περίφημη "γάτα του Schrödinger", ένα νοητικό πείραμα για την κβαντική υπέρθεση, φτάνει στο σημείο να συνθέσει διαλεκτικά τη ζωή με τον θάνατο. Με τεχνικούς όρους, η κβαντική κατάσταση της γάτας είναι γραμμικός συνδυασμός δύο επιμέρους καταστάσεων που αντιστοιχούν στις πιθανότητες η γάτα να είναι ζωντανή ή νεκρή. Η σύνθεσή τους, λοιπόν, επιτρέπει στη γάτα να είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή! Βέβαια, αυτό ισχύει όσο δεν παρατηρούμε τη γάτα. Με το που θα κοιτάξουμε, η αλλόκοτη αυτή μαθηματική σύνθεση θα καταρρεύσει στη μία ή την άλλη συνιστώσα της, και η μοίρα της γάτας θα είναι πλέον απόλυτα προσδιορισμένη...

    Επιστήμη, Φιλοσοφία και Τέχνη

Στο πλαίσιο μιας συζήτησης με καλό φίλο καθηγητή Φιλοσοφίας, με αντικείμενο μία φημισμένη διάλεξη του Δημήτρη Λιαντίνη [2], είχα επιχειρήσει να χαράξω σαφή όρια ανάμεσα στην Επιστήμη και τη Φιλοσοφία:

Σκοπός της επιστήμης είναι η διερεύνηση των ορίων του αποδείξιμου. Αντίθετα, σκοπός της φιλοσοφίας είναι ο στοχασμός πέραν των ορίων του αποδείξιμου. Ως γνώστης του στοχασμού των φιλοσόφων, ο Λιαντίνης ήταν επιστήμων. Ως στοχαστής ο ίδιος πάνω σε ζητήματα μεταφυσικής, ήταν φιλόσοφος.

Ο φίλος έκανε, τότε, μία ενδιαφέρουσα όσο και κρίσιμη προσθήκη στο σκέλος που αφορά τη φιλοσοφία:

"...ο στοχασμός και πέραν των ορίων του αποδείξιμου!"

Η (φαινομενικά) μικρή λέξη "και" που πρόσθεσε ο φίλος στον ορισμό, κάνει τη μεγάλη διαφορά. Καθιστά πιο δυσδιάκριτα τα όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία, έτσι που κάποιες γνωστικές περιοχές να διεκδικούνται ισότιμα και από τις δύο. Στο τέλος οφείλει να επέλθει συμβιβασμός προς όφελος του ανθρώπινου πνεύματος. Κι αυτό ακριβώς αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη ιδέα της Διαλεκτικής!

Βάζοντας, τώρα, στο κάδρο της συζήτησης και τη Μουσική, αυτό το "και" που συνδέει πράγματα καταρχήν διαφορετικά, με παραπέμπει συνειρμικά στο μαγικό "und" στη δεύτερη πράξη του "Τριστάνου" του Βάγκνερ ("Tristan und Isolde") [3]. Πρόκειται εδώ για έναν σύνδεσμο που η χρήση του, πέραν της αυτονόητης αναφοράς στην ερωτική σχέση των δύο ηρώων, υπονοεί ταυτόχρονα και την διαλεκτική συνύπαρξη φανερά αντίθετων ιδεών στο μουσικό δράμα: Του φωτός με το σκότος, της λογικής με το συναίσθημα, του "πρέπει" με το "θέλω", της κοινωνικής υπόληψης με την προσωπική ευτυχία, του έρωτα με τον θάνατο (ένα αχώριστο δίπολο κατά τον Δ. Λιαντίνη)...

Και, μια και αναφερθήκαμε στη μουσική, να σημειώσω κάτι ιδιαίτερα σημαντικό: Η κορυφαία μουσική φόρμα, η φόρμα σονάτας, με βάση την οποία δομούνται έργα όπως η σονάτα, το κουαρτέτο εγχόρδων και η συμφωνία, έχει στον πυρήνα της τη διαλεκτική σχέση ανάμεσα σε δύο αντίθετα, ως προς τον χαρακτήρα τους, μουσικά θέματα. Τα οποία, μέσω της ανάπτυξης, συντίθενται έτσι ώστε να παραχθεί ένα απόλυτα αρμονικό αποτέλεσμα.

Θα τολμούσα να πω ότι τίποτα δεν αναδεικνύει την ωραιότητα της Φιλοσοφίας όσο η Τέχνη. Και, για κάποιους αιθεροβάμονες ρομαντικούς, ακόμα και η ίδια η Επιστήμη μία μορφή τέχνης (μπορεί να) είναι!

[1] https://www.klik.gr/gr/el/epistimi/o-chigks-ta-aorata-somatidia-kai-i-krummeni-summetria-tis-fusis/

[2] https://www.klik.gr/gr/el/brain-storm/stochasmoi-pano-se-mia-profitiki-dialexi-tou-dimitri-liantini/

[3] https://www.klik.gr/gr/el/brain-storm/to-skotadi-pou-fotizei-tin-alitheia-o-sumbolikos-kosmos-tou-tristanou-2/

KLIK

Nausivios Chora, Vol. 8 (2022) | 2 new articles

Independence of Maxwell’s equations: A Bäcklund-transformation view

Approximate solutions of Maxwell’s equations for a charging capacitor