Ένα μαθηματικό πρόβλημα στη θεωρία των αριθμών

Έστω  m, n  θετικοί ακέραιοι (φυσικοί) αριθμοί. Θεωρούμε την συμμετρική ποσότητα

        Q(m,n) = Q(n,m) = (m+n)! / m! n!

Θέλουμε να δείξουμε ότι το Q είναι ακέραιος, για κάθε m και n.

Ένας τρόπος να δουλέψουμε είναι να παρατηρήσουμε ότι

        Q(m,n) = (m+1)(m+2)...(m+n) / n!

και να δείξουμε ότι ο αριθμητής είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του παρονομαστή. Θα πρέπει, λ.χ., να αναπτύξουμε αριθμητή και παρονομαστή σε γινόμενα δυνάμεων πρώτων αριθμών, και να δείξουμε ότι οι δυνάμεις στον παρονομαστή δεν υπερβαίνουν τις αντίστοιχες στον αριθμητή. Η απόδειξη με αυτό τον τρόπο θα οδηγούσε, ίσως, σε μαθηματικό βραβείο!

Ένας πιο "πονηρός" τρόπος είναι να αποδείξουμε ότι το Q(m,n) είναι πληθικός αριθμός (cardinal number) κάποιου συνόλου, ίσος εξ ορισμού με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Ο αριθμός αυτός είναι, φυσικά, πάντα ακέραιος!

Θεωρούμε το σύνολο των διατεταγμένων n-άδων

        Σ(n, m+n) = { (α₁, α₂, ... , α_n) }

όπου τα  α₁, α₂, ... , α_n  παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές από το σύνολο {1,2,...,m+n}, που ικανοποιούν την ανισότητα  α₁ < α₂ < ... < α_n . Όπως λένε οι φωστήρες της συνδυαστικής ανάλυσης (με την οποία δεν διατηρώ αγαθές σχέσεις!), ο πληθικός αριθμός τού πιο πάνω συνόλου ισούται με

        | Σ(n, m+n) | = Q(m,n) .

Εναλλακτικά, δοθέντος ότι το Q(m,n) είναι συμμετρικό ως προς τα m και n, μπορούμε να θεωρήσουμε το σύνολο των διατεταγμένων m-άδων

        Σ(m, m+n) = { (α₁, α₂, ... , α_m) }

όπου τα  α₁, α₂, ... , α_m  παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές από το σύνολο {1,2,...,m+n}, που ικανοποιούν την ανισότητα  α₁ < α₂ < ... < α_m . Τότε, και πάλι, 

        | Σ(m, m+n) | = Q(m,n) .

    Παράδειγμα: Για m=2 και n=3 έχουμε ότι

Q(2,3) = 5! / 2! 3! = 10.  Από την άλλη, το σύνολο

Σ(3,5) = { (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), 

                (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5) }

έχει πληθικό αριθμό  | Σ(3,5) |=10.  Ισοδύναμα, για το σύνολο

Σ(2,5) = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), 

                (3,4), (3,5), (4,5) }

έχουμε και πάλι ότι  | Σ(2,5) |=10.

    Συμπέρασμα: Ο αριθμός  Q = (m+n)! / m! n!  είναι ακέραιος και ίσος με

        Q(m,n) = | Σ(m, m+n) | = | Σ(n, m+n) | .

    Υ.Γ.: Ανάρτησα χθες το πιο πάνω παιδαγωγικό μαθηματικό πρόβλημα στο "υψηλής" ακαδημαϊκής στάθμης και "υπερσύγχρονων" τεχνικών προδιαγραφών μέσο κοινωνικής αποβλάκωσης Facebook, δίνοντας παράλληλα και το link της ανάρτησης σε αυτό εδώ το blog για την περίπτωση που κάποιος θα ήθελε να το αποθηκεύσει. Σε χρόνο dt το Facebook (ή μάλλον, οι "έξυπνοι" μηχανισμοί του για ανίχνευση spam αναρτήσεων) κατέβασε την ανάρτηση χαρακτηρίζοντάς την ως... spam, ως τέχνασμα για... "αλίευση" μεγάλου αριθμού από τα περιβόητα "Likes" και, εν τέλει, ως αντιβαίνουσα τους "κανόνες της κοινότητας". Με την προειδοποίηση, μάλιστα, ότι συνεχιζόμενη παρόμοια συμπεριφορά μου θα έχει ως αποτέλεσμα την αποπομπή μου από την κοινότητα αυτή!

    Και σκέφτομαι, τελικά, πόσες καλές ιδέες έχουμε για πέταμα αναρτώντας τες στα "social media"...

    ΚΠ