New book | Elements of Mathematical Analysis

Elements of Mathematical Analysis: An Informal Introduction for Physics and Engineering Students

This short textbook is a concise, informal introduction to differentiation and integration of real functions of a single variable, supplemented with an elementary discussion of first-order differential equations, an introduction to differentiation and integration in higher dimensions, and an introduction to complex analysis. Functional series (and, in particular, power series) are also discussed. Proofs of theoretical statements are limited to those considered pedagogically useful, while the theory is amply supplemented with carefully chosen examples. The book may serve as a tutorial resource in a short-term introductory course of mathematical analysis for beginning students of physics and engineering who need to use differential and integral calculus primarily for applications. It is particularly suitable for self-study.

https://link.springer.com/book/9783031458538

Σχέδιο υποβάθμισης των Ανώτατων Στρατιωτικών Σχολών;

Από πρώην φοιτητή μου έλαβα πριν λίγες μέρες ένα μήνυμα που αφορούσε τις βάσεις εισαγωγής στις Στρατιωτικές Σχολές το 2023. Ενδεικτικά, μου παρέθεσε τα εξής στοιχεία:

Βάσεις 2023 

Σχολή Ναυτικών Δοκίμων (ΣΝΔ) :                                  12,7

Σχολή Μονίμων Υπαξιωματικών Ναυτικού (ΣΜΥΝ) :     13,7

Σχολή Ευελπίδων (Σ.Ε.) :                                               12,2

Σχολή Μονίμων Υπαξιωματικών Στρατού (Σ.Μ.Υ.) :       15,8

(Δείτε εδώ αναλυτικά τις βάσεις.)

Τα στοιχεία αυτά συνόδευε ένα μελαγχολικό σχόλιο που συνάδει απόλυτα με τις δικές μου σκέψεις και το δικό μου αίσθημα βαθιάς απογοήτευσης:

Λυπηρό...

Εκεί μας έφτασαν με την αδιαφορία τους. 

Από 18 που είχε η βάση στις δικές μας χρονιές...

Τώρα, αντί για Φυσική θα τους διδάσκετε γραφή και ανάγνωση!

Πέραν των εξευτελιστικά χαμηλών βάσεων εισαγωγής σε Ανώτατα Στρατιωτικά Εκπαιδευτικά Ιδρύματα (ΑΣΕΙ) όπως η ΣΝΔ και η Σ.Ε., παρατηρείται και το τραγελαφικό να είναι οι βάσεις αυτές χαμηλότερες και από εκείνες των αντίστοιχων Ανώτερων Σχολών Υπαξιωματικών!

Το 2014, ο τότε υπουργός Παιδείας, Ανδρέας Λοβέρδος, ενδεχομένως με τη σύμφωνη γνώμη - αν όχι την ευθεία παρότρυνση - κύκλων αποστράτων αξιωματικών που ποτέ δεν είδαν με καλό μάτι τον ακαδημαϊκό προσανατολισμό των στρατιωτικών σχολών, αποπειράθηκε να βγάλει τις σχολές αυτές από το σύστημα των πανελληνίων εισαγωγικών εξετάσεων, πράγμα που θα οδηγούσε στην εξ ορισμού υποβάθμισή τους σε σχέση με τα ΑΕΙ. Ευτυχώς η θητεία του ως υπουργού έληξε πριν προλάβει να βάλει σε εφαρμογή το (αμφιβόλων προθέσεων) σχέδιό του...

Σχεδόν μία δεκαετία αργότερα, κι αφού μεσολάβησαν (τα αναφέρω για ιστορικούς και μόνο λόγους) ένα τρίτο μνημόνιο, μία πανδημία και ένας πόλεμος στην Ευρώπη, φαίνεται πως ανακαλύφθηκε ένας πιο αποτελεσματικός τρόπος υποβάθμισης και, τελικά, απαξίωσης των ΑΣΕΙ: Τις αφήνουμε στο σύστημα των πανελλήνιων, αλλά τις τοποθετούμε στον "πάτο". Πού θα πάει, κάποια στιγμή μοιραία θα τις πετάξουν έξω! Άλλωστε, τι χρειάζεται η βαθιά επιστημονική επιμόρφωση όταν υπάρχει ακλόνητο πατριωτικό φρόνημα;

Δεν θα επιχειρήσω να απαντήσω στο αυτονόητα απαράδεκτο ρητορικό ερώτημα, ούτε θα προβώ σε περαιτέρω σχολιασμούς. Θα αναρωτηθώ μόνο τι είδους πρωτοετείς θα παραλάβω φέτος τον Σεπτέμβριο στη ΣΝΔ, για να τους διδάξω αυτά που οι προ εικοσαετίας πρωτοετείς μου γνώριζαν ήδη καλύτερα κι από εμένα τον ίδιο!

Αλλά, όπως γράφει στο τέλος του μηνύματός του ο πρώην φοιτητής μου, κάποιοι μάλλον υπολογίζουν ότι στις φρεγάτες Belhara όλα θα είναι αυτοματοποιημένα!

ΚΠ

ΤΟ ΒΗΜΑ - Ο Ναζισμός και το «εύσημο» του Κακού

Σκέψεις πάνω στην ιδέα του Κακού, με αφορμή την επανεμφάνιση νεοναζιστικής «σκιάς» στο ελληνικό Κοινοβούλιο.

Οι πρόσφατες επαναληπτικές εθνικές εκλογές ανέδειξαν ένα άγνωστο, ως χθες, πολιτικό κόμμα, το οποίο στηρίχθηκε ανοιχτά (αν όχι καθοδηγήθηκε υπόγεια) από ηγετικό στέλεχος του νεοναζιστικού χώρου, καταδικασμένο σε φυλάκιση για εγκληματική δράση. Είναι μία επιστροφή του εν λόγω χώρου στη Βουλή «από την πίσω πόρτα», παρά τα ad hoc νομικά αναχώματα που είχαν τεθεί για να αποτρέψουν αυτό το ενδεχόμενο. Πρόκειται, θα λέγαμε, για μία «κοινοβουλευτική επανακανονικοποίηση» του εγχώριου νεοναζισμού.

Βέβαια, το κόμμα αυτό δεν είναι το μοναδικό από τον χώρο της άκρας Δεξιάς που θα φιλοξενηθεί στη νέα Βουλή (ας μην ξεχνάμε ότι σε αυτήν εμφιλοχώρησαν ακόμα και εκπρόσωποι του πιο ακραίου θρησκευτικού φονταμενταλισμού [1] με ιδιαίτερους δεσμούς με το αντιδημοκρατικό καθεστώς της Ρωσίας). Εν τούτοις, η ιδέα μίας – έμμεσης, έστω, και δι’ αντιπροσώπων – κοινοβουλευτικής επανεμφάνισης του νεοναζισμού, αφήνει την αίσθηση μιας γροθιάς στο στομάχι. Η εξήγηση γι’ αυτή την ανακλαστική αντίδραση βρίσκεται στις πιο σκοτεινές σελίδες της παγκόσμιας Ιστορίας...

Είναι γεγονός αναμφισβήτητο ότι, στη συνείδηση του δημοκρατικού ανθρώπου, ο Ναζισμός διατηρεί προεξάρχουσα θέση στην κλίμακα του ανθρώπινου Κακού. Για κάποιους μελετητές του Ολοκαυτώματος, μάλιστα, δεν έχουμε εδώ να κάνουμε με το συμβατικό «ανθρώπινο» Κακό αλλά με κάτι που ξεπερνά κι αυτά ακόμα τα ανθρώπινα μέτρα.

Σε ένα παλιό κείμενο [2] είχαμε επιχειρήσει να εξετάσουμε το ζήτημα αυτό από φιλοσοφική άποψη. Το παρόν σημείωμα θα μπορούσε να ιδωθεί σαν προέκταση εκείνων των σκέψεων, με αφορμή την είσοδο ενός ακόμα κατ’ ουσίαν νεοναζιστικού κόμματος στο ελληνικό Κοινοβούλιο.

Παρά τα 6 εκατομμύρια των θυμάτων του Ολοκαυτώματος και τις φρικιαστικές αποκαλύψεις των εγκλημάτων του Ναζισμού, η ναζιστική ιδεολογία εξακολουθεί να ασκεί κάποιο βαθμό γοητείας σε ένα πολύ μικρό αλλά πάντα επικίνδυνο ποσοστό της παγκόσμιας κοινότητας. Αντισυστημικές ρητορείες με κρυπτο-ναζιστική (έως φιλο-ναζιστική) απόχρωση ακούγονται όλο και πιο ανοιχτά σε χώρες της δημοκρατικής Ευρώπης, ενώ ανομολόγητες ιδεολογικές «συμπάθειες» μπορεί κάποιος να διακρίνει ακόμα και μέσα σε κόμματα του δημοκρατικού τόξου.

Έτσι, μία αναλυτική προσέγγιση στο φαινόμενο του Ναζισμού δεν αποτελεί αποκλειστικό αντικείμενο της Ιστορίας αλλά, δυστυχώς, αφορά ένα πολιτικό και φιλοσοφικό ζήτημα που διατηρείται ζωντανό ως τις μέρες μας.

Για το συντριπτικά μεγάλο ποσοστό των ανθρώπων, εκείνων δηλαδή που δεν έχουν «μολυνθεί» από ναζιστικές ιδέες, η ηθική αξιολόγηση του Ναζισμού είναι δεδομένη και αυτονόητη: Οι Ναζί ήταν εκπρόσωποι του ακραίου, του απόλυτου Κακού. Μία βαθύτερη εξέταση του θέματος, εν τούτοις, επιβάλλει ιδιαίτερη προσοχή σε ό,τι αφορά τη χρήση του όρου «κακό». Το παρακάτω απλοϊκό ερώτημα μοιάζει σχεδόν ρητορικό:

– Ήταν ο Ναζισμός κακός;

Αν απαντήσουμε καταφατικά, έχουμε πέσει σε μία φοβερή παγίδα που άθελά μας στήσαμε μόνοι μας: Δώσαμε στον Ναζισμό ανθρώπινο πρόσωπο! Ας μου επιτραπεί να εξηγήσω:

Το κακό – ακόμα και στην ακραία εκδοχή του – σχετίζεται με την ηθική διαβάθμιση του ανθρώπινου χαρακτήρα. Έξω από τον άνθρωπο δεν υπάρχει «καλό» ή «κακό». Έτσι, αν χαρακτηρίσουμε τον Χίτλερ ως «κακό», του έχουμε αυτομάτως αναγνωρίσει την ανθρώπινη ιδιότητα. Την οποία αμφίβολο είναι ότι εκείνος και το καθεστώς του έφεραν.

Τι είναι, όμως, αυτό που καθορίζει και οριοθετεί την ανθρώπινη ιδιότητα; Απόλυτη απάντηση δεν υπάρχει έξω από το σαφές πλαίσιο που ορίζει η βιολογία. Αν, εν τούτοις, δεχθούμε τον άνθρωπο κατά κύριο λόγο ως ηθικό μέγεθος, τότε μπορούμε να πούμε ότι το κριτήριο που επιβεβαιώνει ή απορρίπτει, ανάλογα, την πιο πάνω ιδιότητα, είναι η αυτοσυνειδησία. Συγκεκριμένα, πώς τοποθετεί το άτομο τον εαυτό του μέσα στο πλέγμα της αιτιότητας.

Ο άνθρωπος παράγει αιτιότητα αλλά και υπόκειται σε αυτήν. Δηλαδή, συμμετέχει στην αιτιακή αλυσίδα τόσο ως γενεσιουργό αίτιο, όσο και ως υποκείμενο αποτέλεσμα. Ειδική σημασία για την παρούσα συζήτηση έχει το κομμάτι της αιτιότητας που αφορά τις ανθρώπινες σχέσεις. Ένα άτομο, λοιπόν, μπορεί να επηρεάσει τη ζωή ενός άλλου ατόμου, το οποίο, με τη σειρά του, μπορεί να επηρεάσει τη ζωή του πρώτου. Σε ακραία περίπτωση, ένας άνθρωπος μπορεί να σκοτώσει κάποιον άλλον αλλά και να σκοτωθεί από εκείνον. Αυτή η αμφίδρομη σχέση με την αιτιότητα αποτελεί, εξ ορισμού, μέρος της αυτοσυνειδησίας κάθε ατόμου ή, συλλογικά, κάθε κοινωνικής ομάδας.

Υπάρχει, εν τούτοις, μία ακραία παρέκκλιση από τον τελευταίο αυτό κανόνα. Πρόκειται για τον συνειδησιακό τύπο που πιστεύει – και δεν διστάζει να επιβάλει ακόμα και με τη βία την πίστη του αυτή – ότι δικαιούται να επηρεάζει την αιτιότητα χωρίς να υπόκειται σε αυτήν. Ο τύπος αυτός, δηλαδή, έχει συνειδητά απαρνηθεί την ανθρώπινη ιδιότητά του, απονέμοντας αυθαίρετα στον εαυτό του έναν ανώτερο ρόλο: αυτόν ενός οιονεί «θεού»!

Στην κατηγορία αυτή ανήκαν οι Ναζί. Όπως έχουμε σημειώσει [2] θεωρούσαν τους εαυτούς τους ως εκπρόσωπους μίας φυσικής Αρχής που είχε το απόλυτο δικαίωμα να αποφασίζει για την ύπαρξη ή τον αφανισμό οποιασδήποτε κοινωνικής ομάδας, οσοδήποτε μεγάλης, χωρίς η ίδια αυτή «Αρχή» να υπόκειται σε άνωθεν έλεγχο ή έξωθεν αμφισβήτηση της παντοδυναμίας της.

Αυτό που καθιστά το ναζιστικό καθεστώς μοναδικό ανάμεσα σε άλλα ρατσιστικά καθεστώτα είναι το γεγονός ότι, υπερβαίνοντας τα όρια του «απλού» κοινωνικού διαχωρισμού, επιδόθηκε σε φυλετική εξόντωση. Στο πλαίσιο της μαζικής αυτής δολοφονίας, οι Ναζί λειτούργησαν σαν «θεοί» που μπορούσαν να επιλέξουν αυθαίρετα σε ποιο ανθρώπινο είδος θα εκχωρούσαν το δικαίωμα στη ζωή, και σε ποιο είδος θα το αρνούνταν και θα το καταργούσαν.

Έχει ιδιαίτερη σημασία να τονιστεί εδώ ότι η εξόντωση δεν ήταν πράξη αυτοσυντήρησης του χιτλερικού καθεστώτος απέναντι σε μία ανθρώπινη ομάδα που το απειλούσε, αλλά αποτέλεσμα και μόνο της διαστροφικής ιδεολογίας του Ναζισμού. Και αυτό ακριβώς είναι που κάνει το ναζιστικό καθεστώς να ξεχωρίζει από άλλα εγκληματικά καθεστώτα, όπως εκείνο του Στάλιν. (Σε ένα παλιότερο κείμενο [3] είχαμε αναφερθεί αναλυτικά στα εγκλήματα των δύο αιμοσταγών δικτατόρων του εικοστού αιώνα.)

Συμπερασματικά, η παρέκκλιση από την ανθρώπινη αυτοσυνειδησία, κι ακόμα περισσότερο η διάπραξη μαζικού εγκλήματος στη βάση της παρέκκλισης αυτής, αυτοδικαίως αφαιρεί από τους δολοφόνους το προνόμιο να θεωρούνται άνθρωποι. Συνεπώς, το να χαρακτηρίζουμε απλοϊκά τους Ναζί ως «κακούς» συνιστά τιμή για εκείνους, αφού το κακό αποτελεί διαβάθμιση του ανθρώπινου χαρακτήρα. Με τον τρόπο αυτό, δηλαδή, τους προβιβάζουμε άθελά μας σε ανθρώπους, κάτι που οι Ναζί είναι αμφίβολο πως ήταν. Ο Ναζισμός δεν δικαιούται το «εύσημο» του Κακού!

Για τον λόγο αυτό, αν και θα ήταν λάθος να υπερεκτιμήσουμε φοβικά το πολιτικό μέγεθος ενός νεοεμφανιζόμενου, στα κοινοβουλευτικά πράγματα, πολιτικού κόμματος που αναφανδόν εισπράττει νεοναζιστικά εγκώμια, στις συνειδήσεις μας το κόμμα αυτό θα συνδέεται αναπόφευκτα με τις σκοτεινότερες και πιο αποκρουστικές σελίδες της παγκόσμιας Ιστορίας.

[1] https://www.tovima.gr/2023/06/08/opinions/thriskeytikos-fontamentalismos-kai-atomika-dikaiomata/

[2] https://www.tovima.gr/2016/03/29/opinions/o-xitler-kai-i-filosofiki-thewrisi-toy-kakoy/

[3] https://www.tovima.gr/2019/11/08/opinions/xitler-kai-stalin-sti-zygaria-tou-kakou/

ΤΟ ΒΗΜΑ

Ναζισμός: Μια ηθικο-φιλοσοφική προσέγγιση στο Απόλυτο Κακό

               

Όσο κι αν ψάξει κάποιος στις σελίδες της Ιστορίας, δύσκολα θα συναντήσει μαζικά εγκλήματα τόσο διαστροφικά όσο εκείνα που διέπραξε το καθεστώς του Άντολφ Χίτλερ στο διάστημα (1933-1945) που κατείχε την εξουσία στη Γερμανία. Αυτό που προσδίδει στο ναζιστικό καθεστώς τον χαρακτήρα της διαστροφής δεν είναι απλά και μόνο η ρατσιστική του φύση (ρατσιστικά καθεστώτα υπήρξαν, δυστυχώς, και αλλού) αλλά το γεγονός ότι ο ρατσισμός δεν αρκέστηκε σε κοινωνικούς διαχωρισμούς και «ειδικές μεταχειρίσεις» αλλά προχώρησε σε μαζική δολοφονία εκατομμυρίων ανθρώπων, με πράξεις που χαρακτηρίστηκαν από απίστευτη κτηνωδία.

Αν και τα εγκλήματα του ναζισμού όλο και λιγότερο αποτελούν θέμα ακαδημαϊκής συζήτησης στην εποχή μας (ας μην ξύνουμε πληγές τώρα!), επιχειρήσαμε με μία σειρά κειμένων να προσεγγίσουμε το φαινόμενο μέσα από καθαρά ηθικο-φιλοσοφική σκοπιά. Η προσέγγιση αυτή εστιάζει σε τρία βασικά ζητήματα:

1. Το ηθικό ζήτημα: Γιατί στην κοινή συνείδηση το χιτλερικό καθεστώς είναι ταυτισμένο με το Απόλυτο Κακό;

2. Το γνωσιολογικό ζήτημα: Είναι καταρχήν εφικτή η ερμηνεία του μαζικού εγκλήματος στο πλαίσιο της ιστορικής αιτιότητας;

3. Το εθνο-φυλετικό ζήτημα: Είναι ο «γερμανικός χαρακτήρας» ή οι ιστορικές συγκυρίες ο παράγοντας εκείνος που επέτρεψε στον Χίτλερ να διαπράξει με τόση ευκολία ένα έγκλημα τέτοιων διαστάσεων;

Παραθέτω μία σειρά δημοσιευμένων κειμένων που πραγματεύονται τα πιο πάνω ζητήματα (μαζί με σχετικό video), τονίζοντας εμφατικά ότι δεν αποτελούν ιστορικές μελέτες (δεν θεωρώ τον εαυτό μου επιστημονικά επαρκή για ένα τέτοιο εγχείρημα!) αλλά εκφράζουν, απλά, μερικές προσωπικές σκέψεις πάνω σε ένα ιστορικό θέμα που τείνει σήμερα να μας ευαισθητοποιεί λιγότερο απ’ όσο θα ‘πρεπε. Ας μην ξεχνούμε, εν τούτοις, ότι η Ιστορία έχει κάποιες φορές την τάση να επαναλαμβάνεται. Είτε ως τραγωδία, είτε ως φάρσα...

Διαβάστε τα κείμενα εδώ

Δείτε σχετικό Video

Πώς θα ήταν να "ζούσαμε" στον Τιτανικό σήμερα;

Η υδροστατική θεωρία και ο κλασικός ηλεκτρομαγνητισμός δίνουν μία εικόνα των φυσικών συνθηκών που επικρατούν στο ναυάγιο του Τιτανικού, στον βυθό του Ατλαντικού.

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Η ιστορία είναι γνωστή: Η ανθρώπινη ματαιοδοξία, μαζί με την τεχνολογική αλαζονεία, κατασκεύασαν ένα "αβύθιστο" πλοίο που - πίστευαν - δεν θα χρειαζόταν καν σωστικές λέμβους (παρά μόνο λίγες, ως διακοσμητικά) και θα μπορούσε να τρέχει στους ωκεανούς με ταχύτητες πάνω από τα όρια ασφαλείας της εποχής. Του έδωσαν το υπεροπτικό όνομα ΤΙΤΑΝΙΚΟΣ. Η πρόσκρουσή του στο παγόβουνο και η εν συνεχεία βύθισή του στον Ατλαντικό κατά το παρθενικό του ταξίδι, στις 15 Απριλίου του 1912, αποτελεί ίσως την τραγικότερη έκφραση μεταφυσικής ειρωνείας στη νεότερη Ιστορία...

Εικόνα: Το παγόβουνο στο οποίο προσέκρουσε ο Τιτανικός. Η φωτογραφία τραβήχτηκε λίγες ώρες μετά το ναυάγιο, στη θαλάσσια περιοχή όπου αυτό είχε λάβει χώρα. Πάνω στο παγόβουνο υπήρχαν τα σημάδια από τη μπογιά του πλοίου!

Το ναυάγιο του Τιτανικού βρίσκεται - σπασμένο σε δύο κομμάτια - στον βυθό του Βόρειου Ατλαντικού Ωκεανού, σε βάθος περίπου 3.8 χιλιομέτρων. Για να εκτιμήσουμε τις φυσικές συνθήκες που επικρατούν εκεί κάτω, θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε δύο φαινόμενα που υφίστανται σε τέτοια βάθη: την τρομακτική υδροστατική πίεση και το απόλυτο σκοτάδι.

    Μια πίεση για βαθυσκάφη!

Η ατμοσφαιρική πίεση στην οποία έχουμε μάθει να ζούμε είναι ίση με μία ατμόσφαιρα (atm), ισοδύναμη με 760 mm στήλης υδραργύρου. Έχει υπολογιστεί ότι η υδροστατική πίεση στο εσωτερικό της θάλασσας αυξάνει κατά περίπου 1 atm για κάθε 10 μέτρα βάθους. Έτσι, σε βάθος 3.800 μέτρων η πίεση είναι κάπου 380 φορές μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική. Αν, λοιπόν, σκοπεύουμε να επισκεφθούμε τον Τιτανικό (μοιραία απόφαση, δυστυχώς, για πέντε συνανθρώπους μας πρόσφατα), καλό θα είναι να το επιχειρήσουμε χρησιμοποιώντας ένα βαθυσκάφος σχεδιασμένο να αντέχει σε εξαιρετικά υψηλές πιέσεις!

    Γιατί τόσο σκοτάδι εκεί κάτω;

Ο James Clerk Maxwell (1831-1879) θεωρείται ως ο κορυφαίος θεωρητικός Φυσικός του 19ου αιώνα. Κατά μία περίεργη σύμπτωση, πέθανε τη χρονιά που γεννήθηκε ο Αϊνστάιν (όπως ο Νεύτωνας γεννήθηκε τη χρονιά που πέθανε ο Γαλιλαίος). Ο Maxwell υπήρξε ο "πατέρας" του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού, όπως αυτός διδάσκεται ως σήμερα στις σχολές θετικών επιστημών.

Ο Maxwell περιέγραψε την χωροχρονική συμπεριφορά του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με τέσσερις μαθηματικές εξισώσεις που φέρουν το όνομά του (εξισώσεις του Maxwell). Με βάση αυτές έκανε μία φοβερή πρόβλεψη που, δυστυχώς, δεν πρόλαβε να την δει να επαληθεύεται πειραματικά: Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο διαδίδεται στον χώρο σαν κύμα που ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός (ηλεκτρομαγνητικό κύμα). Και, όπως μας πληροφορούν οι ίδιες οι εξισώσεις του Maxwell, όταν ένα τέτοιο κύμα προσπίπτει στην επιφάνεια ενός υλικού μέσου που έχει ηλεκτρική αγωγιμότητα, ένα μέρος του κύματος ανακλάται στην επιφάνεια του μέσου και γυρίζει πίσω (π.χ., στον αέρα), ενώ ένα άλλο μέρος διεισδύει στο αγώγιμο μέσο και, τελικά, απορροφάται χωρίς να ξεπεράσει ένα ορισμένο μέγιστο βάθος (επιδερμικό βάθος).

Η θάλασσα περιέχει άλατα, μέρος των οποίων είναι στη μορφή ηλεκτρικά φορτισμένων ιόντων. Έτσι, η θάλασσα μπορεί να θεωρείται ηλεκτρικά αγώγιμο μέσο. Από την άλλη μεριά, όπως έδειξε ο Maxwell, το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, όταν το φως του ήλιου πέφτει στην επιφάνεια της θάλασσας, ένα μέρος του ανακλάται ενώ ένα άλλο μέρος διεισδύει και απορροφάται σε σχετικά μικρά βάθη.

Φανταστείτε τώρα τι μπορεί να συμβαίνει σε βάθος περίπου 4 χιλιομέτρων στη θάλασσα. Κανένα φως δεν μπορεί να φτάσει ως εκεί, και έτσι το μόνο που θα "βλέπαμε" θα ήταν το απόλυτο σκοτάδι!

Να σημειώσουμε, τέλος, ότι η απορρόφηση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων καθιστά το radar ένα όχι χρήσιμο εργαλείο για την ανίχνευση υποθαλάσσιων αντικειμένων σε μεγάλα βάθη. Για τη δουλειά αυτή χρησιμοποιείται το sonar που εκπέμπει ηχητικά κύματα, τα οποία διαδίδονται δίχως πρόβλημα μέσα στο νερό της θάλασσας.

    Ο Τιτανικός στο σινεμά

Με την ευκαιρία αυτής της συζήτησης, δείτε την καλύτερη ταινία (κατά τη γνώμη μας) που γυρίστηκε ποτέ με θέμα το στοιχειωμένο πλοίο: "A Night to Remember", παραγωγής 1958.

KLIK

Amplitude dependence of period in one-dimensional periodic motion

Μια γενική περιοδική κίνηση σε μία διάσταση δεν είναι απαραίτητα αρμονική ταλάντωση όπου η ολική δύναμη είναι της μορφής  F = - kx  και η δυναμική ενέργεια είναι τετραγωνική συνάρτηση του x (εξίσωση παραβολής). Στη γενική περίπτωση, η περίοδος της κίνησης εξαρτάται από το πλάτος ταλάντωσης, άρα και από την ολική μηχανική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος. Όπως αποδεικνύεται στο πιο κάτω παιδαγωγικό άρθρο, η αρμονική ταλάντωση αποτελεί μοναδική εξαίρεση μονοδιάστατης περιοδικής κίνησης όπου η περίοδος είναι ανεξάρτητη του πλάτους ταλάντωσης, άρα και της ολικής ενέργειας του κινητού.

Δείτε το άρθρο

Debunking the myth of a "flat Earth" (An elementary introduction to non-Euclidean geometry)

Even if we weren’t able to view the Earth from outer space, an experiment performed on the surface of the Earth would reveal that this surface is not flat, since the axioms of Euclidean geometry do not apply on it.

The simplest possible introduction to non-Euclidean geometry!

Read the article

Greek version

Διαλεκτική: Από τη Φιλοσοφία ως την Φυσικομαθηματική Επιστήμη

Πώς μέσω της Διαλεκτικής τα καταρχήν αντίθετα καθίστανται συμπληρωματικά. Από τη φιλοσοφία ως τα μαθηματικά, κι από τον Hegel και τον Maxwell ως τον Schrödinger, τον Βάγκνερ και τον Λιαντίνη...

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

    Διαλεκτική: Από τον Ηράκλειτο στον Hegel

Σύμφωνα με τον Ίωνα φιλόσοφο Ηράκλειτο (544 - 484 π.Χ.), πίσω από κάθε έκφανση του γίγνεσθαι στο Σύμπαν υπάρχει η εξ αντιθέτων σύσταση και εκ του πολέμου μεταξύ των αντιθέτων διάλυση των πάντων. Αυτό αποτελεί τη βάση της διαλεκτικής αρχής, η οποία διέπει την εξέλιξη κάθε πράγματος στον κόσμο.

Στον Πλάτωνα - φύσει πιο φωτεινό πνεύμα από τον "σκοτεινό" Ηράκλειτο - η (κατά βάση σωκρατική) Διαλεκτική αποκτά διαφορετικό νόημα: είναι η τέχνη τού διαλέγεσθαι, δηλαδή, ο τρόπος να φτάνουμε στην αλήθεια μέσω της σύγκρουσης αντίθετων απόψεων.

Ο Hegel (1770 - 1831) εξελίσσει τις ιδέες του Ηράκλειτου κατά δύο τρόπους: (α) τον απασχολούν οι ιδέες εξίσου με τα φαινόμενα, και (β) σπάζει το απόλυτο δίπολο θέσης - αντίθεσης προσθέτοντας ένα νέο στοιχείο, αυτό της σύνθεσης. Σύμφωνα με την διαλεκτική αρχή τού Hegel, η εξελικτική πορεία όλων των πραγμάτων και όλων των ιδεών βασίζεται στο τρίπτυχο "θέση - αντίθεση - σύνθεση" ή "κατάφαση - αντίφαση - συμφωνία". Με γενικότερους όρους, "Είναι - Μη είναι - Γίγνεσθαι". Η ουσία της πραγματικότητας συνίσταται μεν στην αντίθεση αλλά εμπεριέχει τη συμφωνία, τη συνδιαλλαγή. Έτσι, μέσα από τη σύνθεση των αντιθέσεων αναζητείται ένα ανώτερο επίπεδο αλήθειας.

Ας δούμε τις ιδέες του Hegel λίγο αναλυτικότερα:

Μία ιδέα δεν είναι ένα πράγμα απόλυτο και στατικό, αλλά αντιπροσωπεύει μια ομάδα σχέσεων. Μπορούμε να σκεφτούμε για κάτι μόνο σε συσχετισμό με κάτι άλλο, αντιλαμβανόμενοι τις ομοιότητες και τις διαφορές τους. Μία ιδέα χωρίς κάποιου είδους σχέσεις είναι κενή περιεχομένου.

Από όλες τις σχέσεις, η πλέον οικουμενική είναι εκείνη της αντίθεσης. Κάθε ιδέα, όπως και κάθε πραγματική κατάσταση, κατευθύνει αυτόματα προς το αντίθετό της και, στη συνέχεια, ενώνεται με αυτό για να σχηματίσουν μία ανώτερη και πιο σύνθετη δομή. Αυτή είναι η διαλεκτική αρχή στην οποία βασίζεται κάθε μορφή εξέλιξης ιδεών και πραγμάτων.

Έτσι, για παράδειγμα, ύλη και πνεύμα, καλό και κακό, κλπ., "διαλέγονται" μεταξύ τους και τελικά συντίθενται σε μία ανώτερη ύπαρξη: τον Άνθρωπο. Με όμοιο τρόπο, Λογική και Μεταφυσική, που εκπροσωπούν δύο καταρχήν αντίθετες φιλοσοφικές σχολές, οριοθετούνται και "συμφιλιώνονται" στην κριτική φιλοσοφία του Καντ.

Σύμφωνα με την παραπάνω θεώρηση, κύρια αποστολή της Φιλοσοφίας είναι η αναζήτηση της ενότητας που εν δυνάμει υπάρχει στη διαφορετικότητα. Αλλά κι η Επιστήμη έχει έναν σημαντικό ρόλο να παίξει...

    Η Διαλεκτική στα Μαθηματικά

Με βάση τη συζήτηση που προηγήθηκε, στο ανώτερο επίπεδο μίας διαλεκτικής σύνθεσης τα καταρχήν ασύμβατα μεταξύ τους καθίστανται συμπληρωματικά. Στα μαθηματικά, η σύνθεση αυτή εκφράζεται συμβολικά με τη γενική σχέση:

    Α * Β = Γ     (1)

όπου τα Α, Β, Γ είναι μαθηματικές έννοιες ή μαθηματικά αντικείμενα, και όπου η σύνθεση (*) των Α και Β μπορεί να είναι μία τυπική πράξη (π.χ., πρόσθεση) ή ένας λογικός σύνδεσμος (π.χ., διάζευξη). Το σύμβολο (=) μπορεί, αντίστοιχα, να δηλώνει μία τυπική ισότητα ή μια λογική ισοδυναμία. Εξ ορισμού, η σχέση Α=Β (ως ισότητα ή ως ισοδυναμία) είναι αδύνατη. Τα Α και Β ανήκουν σε "κόσμους" ασύμβατους μεταξύ τους, οι οποίοι μέσω της σύνθεσης (*) καθίστανται συμπληρωματικοί.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Αν τα Α και Β στη σχέση (1) συμβολίζουν τις έννοιες "άρτιος αριθμός" και "περιττός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "ακέραιος αριθμός" (πράγματι, ένας ακέραιος είναι είτε άρτιος είτε περιττός). Δηλαδή, η έννοια "ακέραιος" αποτελεί σύνθεση των αντίθετων, μεταξύ τους, εννοιών "άρτιος" και "περιττός". Με όμοιο τρόπο, αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "ρητός αριθμός" και "άρρητος αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) συμβολίζει και πάλι διάζευξη, τότε το Γ σημαίνει "πραγματικός αριθμός".

2. Αν τα Α και Β συμβολίζουν τις έννοιες "πραγματικός αριθμός" και "φανταστικός αριθμός", αντίστοιχα, και αν το (*) είναι τυπική πρόσθεση, τότε το Γ σημαίνει "μιγαδικός αριθμός". Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τη γνωστή σχέση x+iy=z, όπου τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί ενώ το z είναι μιγαδικός.

3. Μία αυθαίρετη συνάρτηση F(x), που δεν είναι είτε άρτια είτε περιττή, φέρει μέσα της και τις δύο αυτές αντίθετες ιδιότητες [οι οποίες αντιστοιχούν στις έννοιες Α και Β της σχέσης (1)], αφού μπορεί πάντα να γραφεί ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Όμοια, κάθε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα.

4. Πάνω σε ένα επίπεδο, κάθε διάνυσμα V μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο διανυσμάτων κάθετων μεταξύ τους (συνιστώσες τού V). Η καθετότητα μεταξύ των δύο συνιστωσών είναι μία μορφή ασυμβατότητας, με την έννοια ότι δεν υφίσταται μη-μηδενική προβολή της μίας συνιστώσας πάνω στην άλλη.

5. Κάθε διανυσματικό πεδίο V(x,y,z) στον χώρο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ενός αστρόβιλου και ενός σωληνωτού πεδίου. Τόσο από φυσική, όσο και από γεωμετρική άποψη, οι δύο αυτοί τύποι πεδίου έχουν αντίθετες ιδιότητες. Για παράδειγμα, οι δυναμικές γραμμές ενός αστρόβιλου πεδίου είναι ανοιχτές (έχουν αρχή και τέλος), ενώ εκείνες ενός σωληνωτού είναι κλειστές. Από φυσική άποψη, ένα σωληνωτό πεδίο δεν μπορεί να έχει μεμονωμένες σημειακές πηγές (πόλους), ενώ ένα αστρόβιλο πεδίο μπορεί να έχει.

    Διαλεκτική και Φυσικές επιστήμες

Η μέσω της σύνθεσης ενοποίηση των αντιθέτων βρίσκει σημαντικές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

1. Όπως πρώτος παρατήρησε ο Αϊνστάιν, το φως συμπεριφέρεται άλλοτε ως σωματίδιο (φωτόνιο) και άλλοτε ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Έτσι, η έννοια "φως" συντίθεται από δύο ασύμβατες μεταξύ τους φυσικές έννοιες: "σωματίδιο" και "κύμα", όπου η πρώτη περιγράφει διακριτή ποσότητα ενέργειας εντοπισμένης στον χώρο, ενώ η δεύτερη αναφέρεται σε ενέργεια που κατανέμεται στον χώρο με τρόπο συνεχή. Επί πλέον, σύμφωνα με την κβαντομηχανική, και τα ίδια τα σωματίδια της ύλης (όπως, π.χ., το ηλεκτρόνιο) υπό κατάλληλες συνθήκες εμφανίζουν κυματικές ιδιότητες!

2. Η "θεωρία ενοποιημένου πεδίου" επιχειρεί να συνενώσει φαινομενικά διαφορετικά μεταξύ τους πεδία δυνάμεων ώστε να οριστούν γενικότερα και πιο σύνθετα πεδία [1]. Ήδη τον 19ο αιώνα ο James Clerk Maxwell ανακάλυψε ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αποτελούν απλά δύο όψεις ενός πιο σύνθετου πεδίου, του ηλεκτρομαγνητικού. Τον 20ό αιώνα δύο ακόμα πεδία, αυτά της ασθενούς και της ισχυρής δύναμης, εντάχθηκαν στο σχέδιο της ενοποίησης, ενώ συνεχίζονται οι προσπάθειες για να μπει στην "παρέα" και η δύστροπη βαρύτητα.

3. Στον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων και υψηλών ενεργειών, θεωρίες όπως η υπερσυμμετρία επιχειρούν να αναδείξουν την κρυμμένη ενότητα ανάμεσα στα μποζόνια και τα φερμιόνια, τα οποία αποτελούν δύο κατηγορίες σωματίων που οι συλλογικές συμπεριφορές τους δείχνουν εκ διαμέτρου αντίθετες στον κόσμο των χαμηλών ενεργειών όπου ζούμε. Τα μποζόνια - όπως, π.χ., το φωτόνιο - είναι πολύ "κοινωνικά", ενώ τα φερμιόνια - όπως το ηλεκτρόνιο - έχουν την τάση να είναι "μονήρη".

4. Η περίφημη "γάτα του Schrödinger", ένα νοητικό πείραμα για την κβαντική υπέρθεση, φτάνει στο σημείο να συνθέσει διαλεκτικά τη ζωή με τον θάνατο. Με τεχνικούς όρους, η κβαντική κατάσταση της γάτας είναι γραμμικός συνδυασμός δύο επιμέρους καταστάσεων που αντιστοιχούν στις πιθανότητες η γάτα να είναι ζωντανή ή νεκρή. Η σύνθεσή τους, λοιπόν, επιτρέπει στη γάτα να είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή! Βέβαια, αυτό ισχύει όσο δεν παρατηρούμε τη γάτα. Με το που θα κοιτάξουμε, η αλλόκοτη αυτή μαθηματική σύνθεση θα καταρρεύσει στη μία ή την άλλη συνιστώσα της, και η μοίρα της γάτας θα είναι πλέον απόλυτα προσδιορισμένη...

    Επιστήμη, Φιλοσοφία και Τέχνη

Στο πλαίσιο μιας συζήτησης με καλό φίλο καθηγητή Φιλοσοφίας, με αντικείμενο μία φημισμένη διάλεξη του Δημήτρη Λιαντίνη [2], είχα επιχειρήσει να χαράξω σαφή όρια ανάμεσα στην Επιστήμη και τη Φιλοσοφία:

Σκοπός της επιστήμης είναι η διερεύνηση των ορίων του αποδείξιμου. Αντίθετα, σκοπός της φιλοσοφίας είναι ο στοχασμός πέραν των ορίων του αποδείξιμου. Ως γνώστης του στοχασμού των φιλοσόφων, ο Λιαντίνης ήταν επιστήμων. Ως στοχαστής ο ίδιος πάνω σε ζητήματα μεταφυσικής, ήταν φιλόσοφος.

Ο φίλος έκανε, τότε, μία ενδιαφέρουσα όσο και κρίσιμη προσθήκη στο σκέλος που αφορά τη φιλοσοφία:

"...ο στοχασμός και πέραν των ορίων του αποδείξιμου!"

Η (φαινομενικά) μικρή λέξη "και" που πρόσθεσε ο φίλος στον ορισμό, κάνει τη μεγάλη διαφορά. Καθιστά πιο δυσδιάκριτα τα όρια ανάμεσα στην επιστήμη και τη φιλοσοφία, έτσι που κάποιες γνωστικές περιοχές να διεκδικούνται ισότιμα και από τις δύο. Στο τέλος οφείλει να επέλθει συμβιβασμός προς όφελος του ανθρώπινου πνεύματος. Κι αυτό ακριβώς αντιπροσωπεύει τη θεμελιώδη ιδέα της Διαλεκτικής!

Βάζοντας, τώρα, στο κάδρο της συζήτησης και τη Μουσική, αυτό το "και" που συνδέει πράγματα καταρχήν διαφορετικά, με παραπέμπει συνειρμικά στο μαγικό "und" στη δεύτερη πράξη του "Τριστάνου" του Βάγκνερ ("Tristan und Isolde") [3]. Πρόκειται εδώ για έναν σύνδεσμο που η χρήση του, πέραν της αυτονόητης αναφοράς στην ερωτική σχέση των δύο ηρώων, υπονοεί ταυτόχρονα και την διαλεκτική συνύπαρξη φανερά αντίθετων ιδεών στο μουσικό δράμα: Του φωτός με το σκότος, της λογικής με το συναίσθημα, του "πρέπει" με το "θέλω", της κοινωνικής υπόληψης με την προσωπική ευτυχία, του έρωτα με τον θάνατο (ένα αχώριστο δίπολο κατά τον Δ. Λιαντίνη)...

Και, μια και αναφερθήκαμε στη μουσική, να σημειώσω κάτι ιδιαίτερα σημαντικό: Η κορυφαία μουσική φόρμα, η φόρμα σονάτας, με βάση την οποία δομούνται έργα όπως η σονάτα, το κουαρτέτο εγχόρδων και η συμφωνία, έχει στον πυρήνα της τη διαλεκτική σχέση ανάμεσα σε δύο αντίθετα, ως προς τον χαρακτήρα τους, μουσικά θέματα. Τα οποία, μέσω της ανάπτυξης, συντίθενται έτσι ώστε να παραχθεί ένα απόλυτα αρμονικό αποτέλεσμα.

Θα τολμούσα να πω ότι τίποτα δεν αναδεικνύει την ωραιότητα της Φιλοσοφίας όσο η Τέχνη. Και, για κάποιους αιθεροβάμονες ρομαντικούς, ακόμα και η ίδια η Επιστήμη μία μορφή τέχνης (μπορεί να) είναι!

[1] https://www.klik.gr/gr/el/epistimi/o-chigks-ta-aorata-somatidia-kai-i-krummeni-summetria-tis-fusis/

[2] https://www.klik.gr/gr/el/brain-storm/stochasmoi-pano-se-mia-profitiki-dialexi-tou-dimitri-liantini/

[3] https://www.klik.gr/gr/el/brain-storm/to-skotadi-pou-fotizei-tin-alitheia-o-sumbolikos-kosmos-tou-tristanou-2/

KLIK

Nausivios Chora, Vol. 8 (2022) | 2 new articles

Independence of Maxwell’s equations: A Bäcklund-transformation view

Approximate solutions of Maxwell’s equations for a charging capacitor

Κλασική Φυσική, ατομική θεωρία, και ο προφητικός Δρ. Μάξγουελ!

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Εκ πρώτης όψεως, η ατομική θεωρία φαίνεται να παραβιάζει τους νόμους του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού. Και όμως, η κλασική θεωρία της ακτινοβολίας βρίσκει χώρο ακόμα και μέσα σε μία κβαντική δομή όπως το άτομο. Αρκεί να την επανερμηνεύσουμε κατάλληλα...

Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία: Ένας θρίαμβος της κλασικής Φυσικής!

Αν αναζητούσαμε την κορυφαία μορφή της θεωρητικής Φυσικής κατά τον δέκατο-ένατο αιώνα, θα καταλήγαμε χωρίς δυσκολία στον James Clerk Maxwell (1831-1879). Μεταξύ των πολλών επιτευγμάτων του, ο Maxwell ενοποίησε τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό σε μία ενιαία ηλεκτρομαγνητική θεωρία και πρόβλεψε την ύπαρξη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, χωρίς τα οποία οι επικοινωνίες μας, αλλά ακόμα περισσότερο η ίδια μας η ζωή, θα ήταν αδύνατες. Δυστυχώς, ο Maxwell έφυγε από τη ζωή αρκετά νέος και δεν ευτύχησε να δει, λίγα χρόνια αργότερα, την πειραματική επαλήθευση της θεωρίας του για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα...

Συχνά σκεφτόμαστε τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό σαν δύο ξεχωριστά φαινόμενα. Και, πράγματι, εμφανίζουν μία θεμελιώδη διαφορά: Ένα ηλεκτρικό φορτίο δέχεται ηλεκτρική δύναμη ανεξάρτητα από την κίνησή του, ενώ δέχεται μαγνητική δύναμη μόνο όταν κινείται. Αν ζούσαμε σε έναν εξωπραγματικό κόσμο όπου όλα τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία έμεναν αμετάβλητα μέσα στον χρόνο, δεν θα είχαμε επίγνωση ότι τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά φαινόμενα είναι αλληλένδετα και αμοιβαία εξαρτημένα. Από μαθηματική άποψη, οι περίφημες τέσσερις εξισώσεις του Maxwell θα έσπαζαν σε δύο ανεξάρτητα ζευγάρια, ένα για κάθε πεδίο (ηλεκτρικό και μαγνητικό).

Το 1831, όμως, σε μία σειρά πειραμάτων του, ο Michael Faraday ανακάλυψε κάτι ενδιαφέρον: κάθε φορά που ένα μαγνητικό πεδίο μεταβάλλεται χρονικά, ένα ηλεκτρικό πεδίο κάνει απαραίτητα την εμφάνισή του! Αν και δεν υπήρχαν τότε ανάλογες πειραματικές ενδείξεις, ο Maxwell πρόβλεψε πως και το αντίστροφο ήταν αληθές. Δηλαδή, ένα μαγνητικό πεδίο εμφανίζεται κάθε φορά που ένα ηλεκτρικό πεδίο αλλάζει χρονικά. Έτσι, δεν θα έπρεπε στο εξής να ξεχωρίζουμε απόλυτα τα ηλεκτρικά από τα μαγνητικά φαινόμενα, αφού το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο μοιάζουν να είναι σε στενή εξάρτηση μεταξύ τους.

Από ιστορική άποψη, έχουμε εδώ την πρώτη θεωρία ενοποίησης φαινομενικά διαφορετικών δυνάμεων (αλληλεπιδράσεων) – των ηλεκτρικών και των μαγνητικών – σε μία ενιαία ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση. Ο εικοστός αιώνας θα διεύρυνε το «κάδρο» της ενοποίησης βάζοντας στο παιχνίδι την ασθενή και την ισχυρή αλληλεπίδραση, και κάνοντας μία ηρωική προσπάθεια να εντάξει στο σχήμα και την δύστροπη βαρύτητα…

Με την μαθηματική ιδιοφυΐα που τον διέκρινε, ο Maxwell κωδικοποίησε τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα με τέσσερις εξισώσεις που περιγράφουν την συμπεριφορά του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στον χώρο και τον χρόνο. Από τις εξισώσεις αυτές προκύπτει το ενδιαφέρον συμπέρασμα ότι το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο έχει κυματικές ιδιότητες. Δηλαδή, μία μεταβολή (διαταραχή) του πεδίου σε κάποιο σημείο του χώρου δεν γίνεται ακαριαία αισθητή σε άλλα σημεία αλλά διαδίδεται μέσω ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός. Ειδικά, το ίδιο το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα που έχει την ιδιότητα να γίνεται αντιληπτό από εμάς για τον λόγο ότι ερεθίζει το αισθητήριο της όρασής μας.

Δεν χρειάζεται, νομίζω, να τονίσω την σημασία των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων για τη ζωή μας! Μέσω αυτών λαμβάνουμε φως και ζέστη από τον Ήλιο (αλλά, δυστυχώς, και άλλες ακτινοβολίες που είναι βλαπτικές για εμάς), απολαμβάνουμε στερεοφωνική μουσική στο ραδιόφωνο, βλέπουμε ποδοσφαιρικούς αγώνες στην τηλεόραση, επικοινωνούμε με τα κινητά μας τηλέφωνα… Όμως, πώς παράγονται αυτά τα κύματα;

Καταρχήν, λίγη ορολογία: Η διάδοση ενέργειας μέσω ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων καλείται ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. (Στο εξής θα γράφουμε, σύντομα, «Η/Μ κύματα» και «Η/Μ ακτινοβολία».) Έτσι, ένα φυσικό σύστημα που εκπέμπει ενέργεια στη μορφή Η/Μ κυμάτων λέμε ότι εκπέμπει Η/Μ ακτινοβολία ή, απλά, ότι ακτινοβολεί. Παραδείγματα τέτοιων συστημάτων είναι τα άτομα, τα μόρια, οι πυρήνες, τα θερμά σώματα, οι κεραίες των ραδιοφωνικών σταθμών, κλπ.

Από μία προσεκτική εξέταση των εξισώσεων του Maxwell προκύπτει ότι η Η/Μ ακτινοβολία παράγεται με βασικά δύο τρόπους: (α) με επιταχυνόμενα μεμονωμένα ηλεκτρικά φορτία, και (β) με χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά ρεύματα. Ειδικά, ένα φορτίο που κινείται με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμα και ομαλά) δεν ακτινοβολεί. Συνηθίζω να το εξηγώ αυτό στους μαθητές μου χρησιμοποιώντας την παρακάτω παραβολή:

Μια ζεστή μέρα του καλοκαιριού πάτε ως το περίπτερο να αγοράσετε ένα παγωτό. Για να προλάβετε πριν λιώσει, αποφασίζετε να το φάτε στον δρόμο. Βαδίζετε αμέριμνοι σε ένα ευθύγραμμο μονοπάτι με σταθερό βήμα (άρα, με σταθερή ταχύτητα) χωρίς να πάρετε είδηση ένα σμήνος από μέλισσες που σας ακολουθούν πολιορκώντας το παγωτό σας! Όταν ξαφνικά τις αντιλαμβάνεστε, επιταχύνετε την κίνησή σας για να τους ξεφύγετε (είτε τρέχετε πιο γρήγορα προς τα μπρος, είτε απλά αλλάζετε κατεύθυνση πορείας). Τρομαγμένες, τότε, από την κίνησή σας αυτή, κάποιες μέλισσες αποκόπτονται από το σμήνος και πετούν μακριά, χωρίς ποτέ να επιστρέψουν...

Τι σημαίνουν όλα αυτά; Το «παγωτό» είναι ένα ηλεκτρικό φορτίο που αρχικά κινείται με σταθερή ταχύτητα, μεταφέροντας στην κατεύθυνση της κίνησής του την ολική ενέργεια του Η/Μ πεδίου του (το «σμήνος των μελισσών»), η οποία ενέργεια μένει σταθερή. Όταν το φορτίο επιταχύνεται, ένα μέρος της ενέργειας αυτής (οι «μέλισσες» που πέταξαν μακριά) αποσπάται, κατά κάποιον τρόπο, και απομακρύνεται προς το άπειρο με την ταχύτητα του φωτός, υπό μορφή Η/Μ κύματος. Και, όσο πιο μεγάλη είναι η επιτάχυνση του φορτίου, τόσο πιο μεγάλη είναι και η ενέργεια της εκπεμπόμενης Η/Μ ακτινοβολίας στη μονάδα του χρόνου.

Εδώ, τώρα, μπορεί να τεθεί το εξής ερώτημα: Η επιτάχυνση είναι κάτι το σχετικό. Αν ένα φορτίο επιταχύνεται ως προς έναν «ακίνητο» παρατηρητή, αυτός θα βλέπει το φορτίο να εκπέμπει Η/Μ ακτινοβολία. Ένας παρατηρητής, όμως, που κινείται μαζί με το φορτίο – άρα το φορτίο είναι ακίνητο ως προς αυτόν – πώς θα εξηγήσει την ακτινοβολία που αντιλαμβάνεται;

Στο σημείο αυτό θα πρέπει να θυμηθούμε την έννοια του αδρανειακού συστήματος αναφοράς. Είναι ένα σύστημα συντεταγμένων (ή αξόνων) ως προς το οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (δηλαδή, ένα σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμα και ομαλά) είτε δεν κινείται καθόλου. Ο παρατηρητής που χρησιμοποιεί ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς λέγεται αδρανειακός παρατηρητής. Με βάση τον Νόμο της Αδράνειας (πρώτο νόμο του Νεύτωνα), δύο αδρανειακοί παρατηρητές κινούνται με σταθερή ταχύτητα (δεν επιταχύνονται) ο ένας ως προς τον άλλον.

Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε είναι ότι σε αδρανειακά και μόνο συστήματα αναφοράς ισχύουν οι νόμοι του Νεύτωνα, καθώς και οι νόμοι του ηλεκτρομαγνητισμού. Ειδικά, ένα ηλεκτρικό φορτίο εκπέμπει Η/Μ ακτινοβολία όταν επιταχύνεται ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή. Ο παρατηρητής που κινείται μαζί με το φορτίο αυτό δεν είναι αδρανειακός. Έτσι, αν και σε εκείνον το φορτίο φαίνεται ακίνητο, άρα μη-επιταχυνόμενο, δεν έχει το «δικαίωμα» να ερμηνεύει τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα με βάση τις εξισώσεις του Maxwell και, αν επιμείνει να το κάνει, θα φτάσει στο λανθασμένο συμπέρασμα ότι ακόμα και ένα ακίνητο φορτίο ακτινοβολεί! Στην πραγματικότητα, βέβαια, το φορτίο ακτινοβολεί επειδή επιταχύνεται ως προς τον αδρανειακό παρατηρητή.

Ο Maxwell ήταν άτυχος που δεν πρόλαβε την θεωρία της σχετικότητας, αφού με βάση αυτήν είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί ότι ένα φορτίο που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή δεν ακτινοβολεί. Ας δούμε πώς:

Έστω φορτίο q που κινείται με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμα και ομαλά) ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή Ο. Θεωρούμε και έναν παρατηρητή Ο΄ που κινείται μαζί με το φορτίο, άρα είναι κι αυτός αδρανειακός (αφού κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τον Ο). Επειδή το q είναι ακίνητο ως προς τον Ο΄, ο παρατηρητής αυτός θα αντιλαμβάνεται απλά ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο και δεν θα καταγράφει εκπομπή Η/Μ ακτινοβολίας από το q (η Η/Μ ακτινοβολία προϋποθέτει χρονική μεταβολή του Η/Μ πεδίου).

Ας κάνουμε τώρα την υπόθεση ότι ο «ακίνητος» παρατηρητής Ο, ως προς τον οποίο το q κινείται με σταθερή ταχύτητα, βλέπει το q να ακτινοβολεί. Σύμφωνα με την αρχή της σχετικότητας, η Η/Μ ακτινοβολία διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα c (ταχύτητα του φωτός) σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Έτσι, αν ο παρατηρητής Ο βλέπει ακτινοβολία που διαδίδεται με ταχύτητα c, τότε και ο παρατηρητής Ο΄ θα πρέπει να βλέπει την ίδια ακτινοβολία να διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα. Όμως, όπως είπαμε προηγουμένως, ο παρατηρητής Ο΄ δεν βλέπει καμία ακτινοβολία! Γιατί οδηγηθήκαμε σε άτοπο; Διότι κάναμε μία λανθασμένη υπόθεση: ότι ο παρατηρητής Ο βλέπει το φορτίο q να ακτινοβολεί. Συμπέρασμα: το q δεν μπορεί να ακτινοβολεί αν κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τον αδρανειακό παρατηρητή Ο.

Σημειώνουμε ότι η επιχειρηματολογία που χρησιμοποιήσαμε καταρρέει αν το q επιταχύνεται ως προς τον Ο, αφού ο παρατηρητής Ο΄ που κινείται μαζί με το φορτίο δεν είναι τώρα αδρανειακός και, συνεπώς, η αρχή της σχετικότητας δεν μπορεί πλέον να χρησιμοποιηθεί για να συσχετίσει τις παρατηρήσεις των Ο και Ο΄.

Κλασική Φυσική και ατομική θεωρία: Μία δύσκολη σχέση...

Ένα ατομικό σύστημα αποτελείται από ένα πλήθος θετικά και αρνητικά φορτισμένων σωματιδίων (πυρήνας και ηλεκτρόνια, αντίστοιχα) τα οποία συγκρατούνται μεταξύ τους με ηλεκτρικές δυνάμεις έτσι ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές (να διατηρεί την ταυτότητά του) για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα.

Όπως μπορεί να αποδειχθεί, ένα σύστημα φορτισμένων σωματιδίων δεν είναι δυνατό να βρίσκεται σε στατική ισορροπία κάτω από την επίδραση ηλεκτρικών δυνάμεων. Τα σωματίδια θα πρέπει να βρίσκονται σε κίνηση και, επειδή ο χώρος της κίνησής τους είναι περιορισμένος, η διεύθυνση της ταχύτητάς τους θα πρέπει να μεταβάλλεται συνεχώς. Με άλλα λόγια, τα σωματίδια θα έχουν (τουλάχιστον κεντρομόλο) επιτάχυνση.

Όμως, σύμφωνα με την κλασική θεωρία, κάθε επιταχυνόμενο φορτίο εκπέμπει Η/Μ ακτινοβολία χάνοντας διαρκώς ενέργεια. Έτσι, μέσα σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα το σύστημα θα πρέπει να συρρικνώνεται και να καταρρέει, χάνοντας τελικά την ταυτότητά του. Κάτι τέτοιο (ευτυχώς!) δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα, αφού τα ατομικά συστήματα είναι ευσταθή.

Ένα άλλο φαινόμενο που απαιτεί εξήγηση είναι ότι τα ατομικά συστήματα εκπέμπουν και απορροφούν την Η/Μ ακτινοβολία με τρόπο επιλεκτικό. Δηλαδή, κάθε τέτοιο σύστημα απορροφά και εκπέμπει συγκεκριμένες μόνο συχνότητες ακτινοβολίας. Όπως λέμε, το φάσμα εκπομπής και απορρόφησης του συστήματος είναι γραμμικό. Αυτό η κλασική Φυσική επίσης αδυνατεί να το εξηγήσει.

Εκεί που αποτυγχάνει η κλασική θεωρία, αναλαμβάνει δράση η κβαντική. Ας εξετάσουμε πώς συμβαίνει αυτό, παίρνοντας σαν παράδειγμα το απλούστερο ατομικό σύστημα: το άτομο του υδρογόνου. Και, πριν απ’ όλα, ας δούμε και πάλι γιατί ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι δυνατό να μελετηθεί με όρους κλασικής Φυσικής.

Μοντέλο του Rutherford: Μία σημαντική αρχή, με προβληματικά συμπεράσματα...

Το πρώτο σύγχρονο μοντέλο του ατόμου προτάθηκε το 1911 από τον Ernest Rutherford. Στην απλούστερη περίπτωση, αυτή του ατόμου του υδρογόνου, το μοναδικό ηλεκτρόνιο κινείται κυκλικά γύρω από τον πυρήνα (πρωτόνιο) με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και αυθαίρετη ακτίνα τροχιάς.

Η εικόνα θυμίζει την κίνηση ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, ή ενός δορυφόρου γύρω από έναν πλανήτη. Με μία βασική διαφορά: στην περίπτωση του ατόμου, η κίνηση οφείλεται σε Η/Μ αλληλεπίδραση (την δύναμη Coulomb ανάμεσα σε πρωτόνιο και ηλεκτρόνιο) και όχι στη βαρύτητα, όπως συμβαίνει στα πλανητικά συστήματα. Και, επειδή το ηλεκτρόνιο έχει κεντρομόλο επιτάχυνση λόγω της συνεχούς μεταβολής στη διεύθυνση της κίνησής του, η κλασική θεωρία προβλέπει ότι το άτομο θα πρέπει να εκπέμπει συνεχώς Η/Μ ακτινοβολία χάνοντας ενέργεια, με αποτέλεσμα η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του ηλεκτρονίου να μειώνεται ολοένα ώσπου τελικά το ηλεκτρόνιο να μεταπέσει μέσα στον πυρήνα του ατόμου. Και η μετάπτωση αυτή, που θα σήμαινε ολική κατάρρευση του ατόμου, θα συνέβαινε μέσα σε απειροελάχιστο χρονικό διάστημα! Κάτι τέτοιο, βέβαια, δεν παρατηρείται στην πραγματικότητα: το άτομο του υδρογόνου – όπως και εκείνα των υπόλοιπων στοιχείων – είναι δομή ευσταθής.

Η ιστορία, όμως, έχει και συνέχεια. Καθώς θα μεταβάλλονταν συνεχώς η ακτίνα της τροχιάς του ηλεκτρονίου και η ενέργεια του ατόμου, με ομοίως συνεχή τρόπο θα μεταβαλλόταν και η συχνότητα της Η/Μ ακτινοβολίας που θα εξέπεμπε το άτομο. Όπως όμως αναφέραμε προηγουμένως, τα άτομα δεν φαίνεται να εκπέμπουν ακτινοβολία κατά τρόπο συνεχή, αλλά κάθε άτομο εκπέμπει επιλεκτικά συγκεκριμένες συχνότητες ακτινοβολίας, χαρακτηριστικές του ατόμου. Δηλαδή, τα φάσματα εκπομπής των ατόμων (όπως επίσης και των μορίων) είναι γραμμικά.

Το μοντέλο του Rutherford, λοιπόν, αν και αποτέλεσε ένα πρώτο σημαντικό βήμα στην κατανόηση της ατομικής δομής, δεν εξηγεί τόσο την ευστάθεια, όσο και την γραμμικότητα του φάσματος εκπομπής των ατόμων. Και εδώ μπαίνει στη σκηνή η κβαντική θεωρία. Με τις αρχικές αδυναμίες της κι αυτή...

Μοντέλο του Bohr: «Παντρεύοντας» κλασικές με κβαντικές ιδέες...

Το 1913 ο Niels Bohr επιχείρησε να «διορθώσει» τις αδυναμίες του μοντέλου του Rutherford για το άτομο του υδρογόνου, προτείνοντας ένα μοντέλο που συνδύαζε κλασικές έννοιες όπως η τροχιά ενός σωματιδίου, με νεωτεριστικές ιδέες όπως ο κβαντισμός της στροφορμής και της ενέργειας.

Ο Bohr εμπλούτισε το μοντέλο του Rutherford για το υδρογόνο, προσθέτοντας δύο αξιώματα:

1. Το ηλεκτρόνιο δεν επιτρέπεται να διαγράφει αυθαίρετες τροχιές γύρω από τον πυρήνα, αλλά πρέπει να κινείται σε κυκλικές τροχιές με αυστηρά καθορισμένες ακτίνες. Στις τροχιές αυτές το ηλεκτρόνιο δεν εκπέμπει Η/Μ ακτινοβολία, και η ενέργεια του ατόμου είναι καθορισμένη και σταθερή.

2. Το άτομο ακτινοβολεί μόνο όταν το ηλεκτρόνιο μεταπίπτει από μία τροχιά μεγαλύτερης ενέργειας σε μία τροχιά μικρότερης ενέργειας, με παράλληλη μείωση της ακτίνας της τροχιάς του ηλεκτρονίου. Η ενέργεια ακτινοβολείται στη μορφή ενός φωτονίου.

Η θεωρία του Bohr εξηγεί την γραμμικότητα του φάσματος εκπομπής του υδρογόνου, προβλέποντας σωστά και τις συχνότητες της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας. Η γραμμικότητα αυτή εξηγείται με απλό τρόπο ως εξής: Σε μία μετάπτωση του ηλεκτρονίου από μία τροχιά ενέργειας E σε μία τροχιά μικρότερης ενέργειας E΄, το άτομο εκπέμπει ενέργεια στη μορφή ενός φωτονίου συχνότητας ν=(E–E΄)/h, όπου h η σταθερά του Planck. Και, επειδή τα E και E΄ παίρνουν διακριτές και όχι αυθαίρετες τιμές (δηλαδή, η ενέργεια του ατόμου είναι κβαντισμένη), το ίδιο θα ισχύει και για τις συχνότητες ν της εκπεμπόμενης Η/Μ ακτινοβολίας. Έτσι, ο κβαντισμός της ενέργειας είναι στενά συνδεδεμένος με την γραμμικότητα του ατομικού φάσματος εκπομπής.

Το μοντέλο του Bohr «πάσχει» σε δύο, κυρίως, σημεία:

1. Ενώ προβλέπει σωστά το φάσμα εκπομπής του ατόμου του υδρογόνου, αδυνατεί να κάνει το ίδιο για άτομα με δύο ή περισσότερα ηλεκτρόνια.

2. Αφήνει ανεξήγητο το ότι στις επιτρεπτές τροχιές του το ηλεκτρόνιο, αν και έχει κεντρομόλο επιτάχυνση, δεν ακτινοβολεί, παραβιάζοντας έτσι τους νόμους του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού.

Και στα δύο αυτά ζητήματα δίνει απαντήσεις η κβαντομηχανική. Θα επικεντρωθούμε εδώ στο δεύτερο.

Πώς η κβαντομηχανική συμφιλιώνει τον Maxwell με τον Bohr!

Σύμφωνα με τον κλασικό ηλεκτρομαγνητισμό, ένα σημειακό φορτίο που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση εκπέμπει ακτινοβολία λόγω της κεντρομόλου επιτάχυνσής του. Αντίθετα, ένα κυκλικό ηλεκτρικό ρεύμα σταθερής έντασης δεν ακτινοβολεί, αφού το Η/Μ πεδίο που παράγει είναι απλά ένα στατικό μαγνητικό πεδίο. Και, όπως αναφέραμε νωρίτερα, η Η/Μ ακτινοβολία προϋποθέτει χρονική μεταβολή του Η/Μ πεδίου.

Όμως, στην κβαντομηχανική η εικόνα ενός σημειακού φορτίου που κινείται σε καθορισμένη τροχιά στερείται νοήματος, αφού η αρχή της αβεβαιότητας δεν επιτρέπει να γνωρίζουμε την ακριβή θέση και την ακριβή ταχύτητα ενός σωματιδίου του μικρόκοσμου. Στη θέση των τροχιών, η κβαντομηχανική μιλά για στάσιμες καταστάσεις με καλά καθορισμένες ενέργειες. Και, στη θέση της κίνησης ενός ηλεκτρονίου σε καθορισμένη τροχιά γύρω από τον πυρήνα, η θεωρία προτείνει ένα «ρεύμα πιθανότητας» που σχετίζεται με όλες τις θέσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί το ηλεκτρόνιο κατά την κίνησή του. Όταν το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μία από τις στάσιμες καταστάσεις, το αντίστοιχο ρεύμα πιθανότητας είναι χρονικά σταθερό.

Επί πλέον – και αυτή είναι μία κρίσιμη υπόθεση – το ρεύμα πιθανότητας μπορεί να θεωρηθεί ως μαθηματικά ανάλογο ενός ηλεκτρικού ρεύματος γύρω από τον πυρήνα του ατόμου. Σε μία στάσιμη κατάσταση, το ηλεκτρικό ρεύμα αυτό είναι χρονικά σταθερό. Και, σύμφωνα με την κλασική θεωρία, ένα σταθερό ρεύμα δεν αποτελεί πηγή εκπομπής Η/Μ ακτινοβολίας.

Ας πάμε, ειδικά, στο άτομο του υδρογόνου. Οι επιτρεπτές τροχιές του Bohr, σε κάθε μία εκ των οποίων το ηλεκτρόνιο έχει καλά καθορισμένη ενέργεια, αντιστοιχούν στις στάσιμες καταστάσεις της κβαντομηχανικής. Και, όπως προαναφέραμε, στις καταστάσεις αυτές η κίνηση του ηλεκτρονίου είναι ισοδύναμη με ένα ηλεκτρικό ρεύμα σταθερής έντασης. Έτσι, στις «καταστάσεις Bohr» το άτομο δεν ακτινοβολεί, εκτός αν το ηλεκτρόνιο μεταπέσει από μία κατάσταση υψηλότερης ενέργειας σε μία κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας, οπότε το άτομο θα εκπέμψει ένα φωτόνιο συχνότητας ανάλογης με τη διαφορά ενέργειας ανάμεσα στις δύο καταστάσεις.

Όταν, τώρα, το άτομο του υδρογόνου δεν υπόκειται σε εξωτερική διέγερση, το ηλεκτρόνιό του «προτιμά» να βρίσκεται στη στάσιμη κατάσταση με την χαμηλότερη δυνατή ενέργεια, αντίστοιχη της πρώτης (θεμελιώδους) τροχιάς του Bohr. Και, επειδή δεν υπάρχει δυνατότητα περαιτέρω μεταπτώσεων, το ηλεκτρόνιο παραμένει επ’ αόριστον στη θεμελιώδη κατάσταση, ενώ το άτομο δεν έχει πλέον τη δυνατότητα να ακτινοβολεί. Η ενέργεια του ατόμου μένει, έτσι, σταθερή, και το άτομο αποφεύγει την κατάρρευση.

Αντικαθιστώντας, λοιπόν, τις ημι-κλασικές τροχιές Bohr με τις στάσιμες καταστάσεις της κβαντομηχανικής, και θεωρώντας ότι το κβαντικό ρεύμα πιθανότητας είναι ανάλογο ενός πραγματικού ηλεκτρικού ρεύματος που περιβάλλει τον πυρήνα του ατόμου, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το άτομο του υδρογόνου είναι ευσταθές σύστημα. Και, το συμπέρασμα αυτό είναι σύμφωνο με μία καθαρά κλασική αρχή: ότι ένα χρονικά σταθερό ηλεκτρικό ρεύμα δεν ακτινοβολεί ενέργεια. Παρά την αρχική αμηχανία τού Rutherford, ο Maxwell και ο Bohr μπορούν, τελικά, να γίνουν φίλοι!

Επίλογος

Από φιλοσοφική άποψη, θα λέγαμε ότι η κβαντομηχανική όχι μόνο δεν καταργεί τον Maxwell σε ό,τι αφορά τα φαινόμενα του μικρόκοσμου, αλλά κατ’ ουσίαν τον δικαιώνει. Αρκεί, βέβαια, να επανεξεταστούν «αυτονόητες» έννοιες της κλασικής Φυσικής, όπως η τροχιά ενός σωματιδίου ως γεωμετρικός τόπος επακριβώς καθορισμένων σημείων από τα οποία το σωματίδιο διέρχεται σε απόλυτα καθορισμένες χρονικές στιγμές. Η επανεξέταση αυτή επιβάλλεται λόγω της αρχής της αβεβαιότητας, σύμφωνα με την οποία δεν επιτρέπεται να γνωρίζουμε λεπτομέρειες του μικρόκοσμου σε τάξη μεγέθους συγκρίσιμη με (ή μικρότερη από) εκείνη της σταθεράς του Planck.

Αν σκεφτούμε ότι τον ηλεκτρομαγνητισμό του Maxwell δεν αμφισβήτησε ούτε η θεωρία της σχετικότητας (κάτι που έκανε για την νευτώνεια μηχανική), καταλαβαίνουμε γιατί ο μεγάλος αυτός επιστήμονας του 19ου αιώνα δικαίως μπορεί να χαρακτηριστεί ως ο κορυφαίος θεωρητικός Φυσικός πριν τον Αϊνστάιν!

* Το πιο πάνω κείμενο αποτελεί μεταφρασμένη και ελαφρά απλουστευμένη εκδοχή του παιδαγωγικού επιστημονικού άρθρου "But, how can the atom be so stable, Dr. Maxwell?" (https://arxiv.org/abs/2105.08421)

KLIK