Prof. V. Balakrishnan: Lectures in Classical Mechanics

Two superb lectures in classical newtonian dynamics by Professor V. Balakrishnan (Department of Physics, Indian Institute of Technology Madras)!

Οι δύο όψεις ενός ηλιοβασιλέματος...

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Για τους ζωγράφους, τους ποιητές, τους φωτογράφους και, γενικά, τους κάθε είδους καλλιτέχνες, ένα ηλιοβασίλεμα είναι πάντα μία πηγή έμπνευσης. Εκείνο το εντυπωσιακό κοκκινωπό χρώμα στα βάθη του ορίζοντα προκαλεί ανάμικτα συναισθήματα στον θεατή. Μελαγχολία για ακόμα μία μέρα που φεύγει, μαζί με προσδοκία για μια νέα, καλύτερη ανατολή...

Όμως, όσο όμορφο κι αν είναι το χρώμα του ουρανού (γαλάζιο τη μέρα, κοκκινωπό το σούρουπο) δεν παύει να αποτελεί φαινόμενο που ερμηνεύεται με βάση τους φυσικούς νόμους. Στην περίπτωσή μας, τους νόμους του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού, και ειδικά εκείνους που αφορούν την απορρόφηση και επανεκπομπή της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Ας αφήσουμε, λοιπόν, προσωρινά στην άκρη το αισθητικό στοιχείο και ας εξετάσουμε το χρώμα του ουρανού καθαρά ως φυσικό φαινόμενο. Πριν απ' όλα, όμως, θα πρέπει να πούμε λίγα λόγια για τη σκέδαση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας...

Όταν ένα ηλεκτρομαγνητικό (Η/Μ) κύμα κυκλικής συχνότητας ω διέρχεται από το εσωτερικό ενός υλικού μέσου, το ηλεκτρικό πεδίο του κύματος αλληλεπιδρά με τα ηλεκτρόνια των ατόμων (ή μορίων) του μέσου, θέτοντάς τα σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα ίση με αυτήν του Η/Μ κύματος. Όταν ένα ηλεκτρόνιο ενός (ηλεκτρικά ουδέτερου) ατόμου εκτελεί αρμονική ταλάντωση συχνότητας ω, το άτομο στο σύνολό του συμπεριφέρεται σαν παλλόμενο ηλεκτρικό δίπολο που ταλαντώνεται με τη συχνότητα αυτή. Ένα τέτοιο δίπολο εκπέμπει, με τη σειρά του, Η/Μ ακτινοβολία συχνότητας ω, ίσης με τη συχνότητα του Η/Μ κύματος που προσέπεσε αρχικά στο υλικό μέσο. Με μία σημαντική διαφορά: Ενώ το αρχικό Η/Μ κύμα είχε καθορισμένη κατεύθυνση, η δευτερογενής Η/Μ ακτινοβολία από τα άτομα του υλικού εκπέμπεται άτακτα σε τυχαίες κατευθύνσεις και δεν επιστρέφει ποτέ στο αρχικό κύμα από το οποίο προήλθε. Η διαδικασία αυτή καλείται σκέδαση της Η/Μ ακτινοβολίας και έχει σαν αποτέλεσμα την ελάττωση του ενεργειακού περιεχομένου του προσπίπτοντος Η/Μ κύματος (δηλαδή, την μερική απορρόφηση του κύματος από το υλικό μέσο).

Στο φαινόμενο της σκέδασης της Η/Μ ακτινοβολίας οφείλεται το παρατηρούμενο χρώμα του ουρανού. Η ηλιακή ακτινοβολία που προσπίπτει στα άτομα της ατμόσφαιρας της Γης καλύπτει μία ευρεία περιοχή συχνοτήτων (λευκό φως), αλλά η ενέργεια που απορροφάται και επανεκπέμπεται (σκεδάζεται) από τα ατμοσφαιρικά άτομα αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο μέρος της στις υψηλότερες συχνότητες. Έτσι, η σκέδαση είναι εντονότερη στο μπλε απ’ ό,τι στο κόκκινο. Όταν, λοιπόν, κοιτάζουμε τον ουρανό την ημέρα, αυτό που παρατηρούμε είναι το σκεδαζόμενο μπλε φως, εκτός αν κοιτάξουμε απευθείας στον Ήλιο οπότε βλέπουμε το κιτρινωπό χρώμα του (ό,τι απομένει από το λευκό μετά την αφαίρεση ενός σχετικά μικρού μέρους από το μπλε). Από την άλλη μεριά, το ξημέρωμα και το σούρουπο οι ακτίνες του Ήλιου μάς έρχονται από τα βάθη του ορίζοντα και διατρέχουν πολύ μεγαλύτερες αποστάσεις μέχρι να φτάσουν σε εμάς. Έτσι, μεγάλο μέρος από την μπλε συνιστώσα του ηλιακού φωτός έχει ήδη αφαιρεθεί λόγω σκέδασης στην ατμόσφαιρα, ενώ η κόκκινη συνιστώσα φτάνει σε εμάς χωρίς να έχει υποστεί μεγάλες απώλειες λόγω σκέδασης. Αυτό εξηγεί γιατί ο Ήλιος μάς φαίνεται κοκκινωπός τις ώρες εκείνες.

Για αναλυτικότερη συζήτηση πάνω στην Η/Μ ακτινοβολία, δείτε τις σελ. 181-189 του παρακάτω βιβλίου:

https://eclass.hna.gr/modules/document/file.php/TOM6104/EM%20Volume%20PDF.pdf

Κριτική σκέψη στην εκπαίδευση: Παράγουμε μαθητές που φοβούνται να σκεφτούν;

Το έλλειμμα κριτικής σκέψης σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης είναι φανερό. Το ερώτημα είναι ποιος έχει τη μεγαλύτερη ευθύνη: ο μαθητής ή ο δάσκαλος...

 Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

Θέλοντας να πειράξω τους φοιτητές μου, τους λέω συχνά πως οι ερωτήσεις κρίσεως ονομάστηκαν έτσι επειδή τους προκαλούν κρίση κάθε φορά που τίθενται ως θέματα στις εξετάσεις! Το πείραγμα έχει μια δόση αλήθειας, αφού αποτελεί προϊόν εμπειρίας που εκτείνεται σε βάθος χρόνου...

Η σκηνή στην αίθουσα διδασκαλίας, σε μέρα εξετάσεων. Οι σπουδαστές διαβάζουν τα θέματα που μόλις τους έχουν δοθεί, καλούμενοι να διατυπώσουν τυχόν απορίες. Με απόλυτα φυσικό τρόπο, ένας εξ αυτών (εκπροσωπώντας πιθανότατα και τους περισσότερους από τους υπόλοιπους) σηκώνει το χέρι και κάνει την εξής ερώτηση: «Στο δεύτερο θέμα, θέλετε αυτά που γράφει το βιβλίο στην πρώτη παράγραφο πάνω δεξιά όπως το κοιτάζουμε, ή εκείνα που γράφει κάτω από το σχήμα στην απέναντι σελίδα;»

Όμως, το πρόβλημα έχει ήδη γίνει φανερό από πριν. Δίνοντας κατευθύνσεις για τη μελέτη του μαθήματος εν όψει εξετάσεων, τους λέω ότι θα πρέπει να είναι σε θέση να διατυπώσουν το τάδε θεώρημα που αναφέρεται στην τάδε σελίδα του βιβλίου, χωρίς να απαιτείται να γνωρίζουν την απόδειξη του θεωρήματος (που επίσης παρατίθεται εκεί). Δεν είναι σπάνιες οι περιπτώσεις που δέχομαι την ερώτηση: «Δηλαδή, από πού μέχρι πού πρέπει να ξέρουμε, και τι μπορούμε να παραλείψουμε στη σελίδα αυτή;»

Δεν υπονοώ, φυσικά, ότι ένας ευφυέστατος σπουδαστής που έχει αριστεύσει σε πανελλήνιες εξετάσεις δεν είναι σε θέση να κρίνει πού αρχίζει και πού τελειώνει η απόδειξη ενός θεωρήματος! Αυτό που θέλω να αναδείξω είναι ο φόβος που τον διακατέχει μπροστά στην ανάγκη να εμπιστευτεί την ίδια του την κρίση, ακόμα και για κάτι τόσο στοιχειώδες. Προτιμά, έτσι, την ασφάλεια που του παρέχει η κατά γράμμα εκτέλεση των οδηγιών του δασκάλου. Το ερώτημα είναι: Μήπως η εκπαίδευσή μας παράγει μαθητές που φοβούνται να σκεφτούν; Ή, στην λιγότερο δραματική εκδοχή, που είναι απρόθυμοι να σκεφτούν;

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι, για ένα όχι ευκαταφρόνητο ποσοστό μαθητών και σπουδαστών, η «φωτογραφική» απομνημόνευση αποτελεί βασικό μέσο μάθησης. Η «παπαγαλία» θεωρείται μαθησιακό εργαλείο εκ των ων ουκ άνευ, ενώ η κριτική σκέψη αντιμετωπίζεται ως ελιτίστικη πολυτέλεια δίχως πρακτική αξία.

Ως εκπαιδευτικός ομολογώ ότι θεωρώ τους μαθητές σαν τους λιγότερο υπεύθυνους γι’ αυτό το φαινόμενο. Από την πρώτη μέρα του σχολείου διδάσκονται την αποστήθιση ως βασικό (αν όχι μοναδικό) τρόπο μάθησης και αναγκάζονται να την αποδεχθούν ως κριτήριο αξιολόγησης της επίδοσής τους. Βέβαια, ως ένα βαθμό, η αποστήθιση είναι αναπόφευκτο συστατικό της εκπαιδευτικής διαδικασίας, ιδιαίτερα όταν πρόκειται για την πρώτη καταγραφή αντικειμενικών δεδομένων όπως, π.χ., ιστορικές χρονολογίες, γεωγραφικά ονόματα ή κανόνες της αριθμητικής. Το ζήτημα είναι κατά πόσον, παράλληλα με την (όποια) αναγκαιότητα της απομνημόνευσης, οι μαθητές διδάσκονται την σημασία της κριτικής σκέψης και τους ανοίγεται ο δρόμος για να την αναπτύξουν.

Και, για να μη φανεί ότι επιχειρώ να επιρρίψω ευθύνες κατά κύριο λόγο στους φιλότιμους συναδέλφους των δύο πρώτων βαθμίδων της εκπαίδευσης, σπεύδω να τονίσω ότι τις ίδιες, τουλάχιστον, ευθύνες φέρουμε και όσοι παίρνουμε τη σκυτάλη από τα χέρια τους. Συνηθίζουμε να φορτώνουμε τους σπουδαστές μας με τεράστιες ποσότητες εξεταστέας ύλης που δεν αφήνουν χώρο στον προβληματισμό, παρά μόνο στην απομνημόνευση δεδομένων και μεθόδων. Έτσι, το διδακτικό βιβλίο και τα συναφή βοηθήματα καταντούν τυφλοσούρτες φοιτητικής επιβίωσης, αντί για εργαλεία ανάπτυξης επιστημονικής σκέψης.

Το κρίσιμο ζητούμενο σε κάθε περίπτωση είναι ο βαθμός επικοινωνίας του διδάσκοντος με τον διδασκόμενο στην αίθουσα διδασκαλίας. Συχνά αντιμετωπίζουμε την μαθησιακή λειτουργία σαν μονόδρομη διαδικασία όπου κάποιος «πομπός», εφοδιασμένος με κάποιας μορφής εξουσία, μεταδίδει αυτό που ο ίδιος θεωρεί ως γνώση σε κάποιους «δέκτες» που καλούνται να την αφομοιώσουν χωρίς να τους δοθεί η δυνατότητα να την αξιολογήσουν. Μερικές φορές, μάλιστα, η μετάδοση της πληροφορίας παίρνει τη μορφή αληθινού βομβαρδισμού κάτω από το άγχος της απαίτησης «να καλύψουμε την ύλη», πράγμα που δεν μας αφήνει χρόνο να προβληματιστούμε κατά πόσον αυτά που διδάξαμε συνέβαλαν στη διεύρυνση πνευματικών οριζόντων ή οδήγησαν, απλά, στην αποθήκευση δεδομένων (τη σπουδαιότητα των οποίων – για να μην παρεξηγηθώ – δεν έχω την πρόθεση να αμφισβητήσω). Και, στο τέλος του εξαμήνου αξιολογούμε την επίδοση του μαθητή/σπουδαστή με βάση το πόσο πιστά μπορεί να αναπαραγάγει μέσα σε λίγη ώρα την πληροφορία με την οποία τον βομβαρδίσαμε!

Αναπόφευκτα, πολλοί μαθητές βρίσκουν καταφύγιο στη στείρα απομνημόνευση, τον πλέον θνησιγενή τρόπο μάθησης, αφού, στις περισσότερες περιπτώσεις (πλην των απολύτως αναγκαίων) τα προϊόντα της εξανεμίζονται δίχως να αφήσουν αξιόλογο στίγμα. Εδώ όμως υπάρχει μία υποσημείωση την οποία εμείς οι εκπαιδευτικοί συχνά παραβλέπουμε: Ακόμα και οι μαθητές στους οποίους με ευκολία τοποθετούμε την ετικέτα του «παπαγάλου», δείχνουν τελείως διαφορετική μαθησιακή συμπεριφορά όταν πρόκειται για αντικείμενο που τους ενδιαφέρει. Και το ενδιαφέρον αυτό είναι, τελικά, που θα τους ωθήσει να επενδύσουν στην εκμάθησή του κάτι περισσότερο από τον μόχθο μίας πρόσκαιρης απομνημόνευσης.

Η πιο πάνω παρατήρηση δείχνει την ευθύνη μας, ως εκπαιδευτικών, για την ανάπτυξη δημιουργικής σκέψης στους μαθητές μας. Για να θελήσουν να εμβαθύνουν σε οποιοδήποτε γνωστικό αντικείμενο θα πρέπει πρώτα να τους κεντρίσουμε το ενδιαφέρον γι’ αυτό. Και, γενικότερα, να τους πείσουμε ότι ο χρόνος που θα διαθέσουν και ο κόπος που θα καταβάλουν θα τους ανταμείψει. Όχι απλά με ένα ψυχρό ενδεικτικό νούμερο που λέγεται «βαθμός» (αυτό το αμφιλεγόμενο κίνητρο είναι, εξ άλλου, ο κύριος υπεύθυνος για το φαινόμενο της αποστήθισης) αλλά, κυρίως, με την απόκτηση γνώσεων που θα είναι χρήσιμες για τη ζωή τους. Και – γιατί όχι; – με την ίδια την απόλαυση της ενασχόλησης με κάτι που σ’ εμάς τους ίδιους εναπόκειται να κάνουμε να φανεί συν τοις άλλοις και ευχάριστο!

Ξεκινώντας στην αρχή της ακαδημαϊκής χρονιάς το μάθημα της Φυσικής με τους πρωτοετείς μου, ρωτώ συχνά σε ποιους η Φυσική ήταν το αγαπημένο μάθημα στο Λύκειο και την μελετούσαν από ενδιαφέρον γι' αυτή, καθώς και ποιοι τυχόν την αντιπαθούσαν με αποτέλεσμα να αναγκάζονται να «παπαγαλίζουν» για να επιβιώσουν. Σηκώνονται χέρια ένθεν και ένθεν, οπότε θέτω το ερώτημα κατά πόσον τα θετικά αισθήματα για το μάθημα σχετίζονται με την ίδια τη Φυσική ή, κατά βάθος, με τον δάσκαλο ο οποίος την δίδαξε. Μετά από σύντομη παύση, παίρνω τελικά την απάντηση που εύκολα μαντεύει ο αναγνώστης…

Αναλογεί, εν τούτοις, και ένα σημαντικό ποσοστό ευθύνης σε έναν ώριμο, πλέον, σπουδαστή για την ανάπτυξη κριτικής σκέψης, ανεξάρτητα από τις όποιες ευθύνες δασκάλων που προηγήθηκαν ή έπονται (οι οποίες, μαζί με εκείνες των γονιών, συχνά λειτουργούν ως βολικό άλλοθι για την αναβολή της ωρίμανσης). Ο σπουδαστής αυτός, λοιπόν, καλείται με δική του θέληση να ξεπεράσει τον εφησυχασμό που προσφέρει η επεξεργασμένη τροφή της απομνημόνευσης, αποδεχόμενος την λιγότερο βολική πρόκληση της δημιουργικής σκέψης. Γιατί, η πρώτη είναι μία επικίνδυνη μορφή πνευματικής οκνηρίας που αργά ή γρήγορα θα τον καταστήσει ευάλωτο στην πνευματική, ηθική και ιδεολογική κηδεμόνευση. Με ό,τι αυτό συνεπάγεται για τον ρόλο του ως ανεξάρτητου κι ελεύθερου μέλους μίας δημοκρατικής κοινωνίας…

Ο μέγας Καζαντζάκης γράφει στο κορυφαίο φιλοσοφικό του έργο: «Ν’ αγαπάς την ευθύνη. Να λες: Εγώ, εγώ μονάχος μου έχω χρέος να σώσω τη γης. Αν δεν σωθεί, εγώ φταίω!» Κι ακόμα: «Καθένας έχει και τη λύτρωση τη δική του, απόλυτα ελεύτερος. Διδασκαλία δεν υπάρχει, δεν υπάρχει Λυτρωτής που ν’ ανοίξει δρόμο…»

Ίσως και να υπάρχει, τελικά, διδασκαλία. Μα ο δάσκαλος δεν είναι απαραίτητα ο λυτρωτής που ανοίγει δρόμους. Είναι κυρίως το φανάρι που τους φωτίζει. Και, ξεπερνώντας τις όποιες δικές του ματαιοδοξίες, οφείλει να δείξει στον μαθητή του πώς να πάρει το βλέμμα από το ίδιο το φανάρι και να το στρέψει κατά κει που πέφτει το φως. Οδηγώντας τον από την άκριτη αποδοχή προς τη γόνιμη σκέψη. Ακόμα και την αμφισβήτηση!

KLIK

Γιατί, τελικά, η Γη δεν είναι επίπεδη;

                 

        Μία μικρή εισαγωγή στην ευκλείδεια και την μη-ευκλείδεια γεωμετρία

Γράφει: Κώστας Παπαχρήστου

 Ένας μύθος που διακινείται από αντιεπιστημονικούς και συνωμοσιολογικούς κύκλους υποστηρίζει ότι το σχήμα της Γης είναι επίπεδο, αντί - όπως καλά γνωρίζουμε - σφαιρικό. Ένα απλό νοητικό πείραμα αρκεί για να καταρρίψουμε τον μύθο μια και καλή. Όμως, προκειμένου να το περιγράψουμε, θα χρειαστούμε λίγες έννοιες από τη γεωμετρία...

Το επίπεδο είναι ευκλείδειος χώρος δύο διαστάσεων. Μερικές ιδιότητες αυτού του χώρου είναι οι εξής:

* Η συντομότερη απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία είναι αυτή που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή.

* Δύο ευθείες γραμμές που ξεκινούν να είναι παράλληλες μεταξύ τους, μένουν παράλληλες σε όλη τους την (άπειρη) έκταση και, συνεπώς, ποτέ δεν τέμνονται.

* Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180^ο.

* Ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα: Αν ΑΒΓ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπου η ορθή γωνία είναι στο Α, τότε

    (ΑΒ)² + (ΑΓ)² = (ΒΓ)²         (1)

Να τώρα τα δύο στάδια του πειράματός μας:

1. Διαλέγετε δύο σημεία Α και Β πάνω στην επιφάνεια της Γης, σε αρκετά μεγάλη απόσταση το ένα από το άλλο. Στη συνέχεια, εντοπίζετε τον συντομότερο δυνατό δρόμο από το Α στο Β, και χαράσσετε (νοερά) τη γραμμή ΑΒ. Αν η Γη είναι επίπεδη, η γραμμή αυτή θα πρέπει να είναι ευθεία. Τώρα, στα σημεία Α και Β τοποθετείτε δύο φίλους σας (τους οποίους δεν πολυ-συμπαθείτε!) και τους ζητάτε να ξεκινήσουν να κινούνται κάθετα προς τη γραμμή ΑΒ, άρα παράλληλα μεταξύ τους. Σε ευκλείδειο χώρο οι παράλληλες ευθείες δεν τέμνονται, και έτσι οι φίλοι σας δεν θα συναντηθούν ποτέ πάνω στη Γη. Καθένας τους θα φτάσει ως την άκρη της επίπεδης γήινης επιφάνειας, και από κει θα πέσει στο διάστημα. Θα απαλλαγείτε, έτσι, μια και καλή από αυτούς!

Αν όμως η Γη είναι σφαίρα, τότε πάνω στην επιφάνειά της δεν θα ισχύουν τα ευκλείδεια αξιώματα. Έτσι, η γραμμή ελάχιστης απόστασης ΑΒ θα ανήκει σε έναν μέγιστο κύκλο - π.χ. τον Ισημερινό - και οι πορείες των φίλων σας, αν και αρχικά παράλληλες, θα συναντηθούν τελικά σε κάποιο σημείο - π.χ. στον Βόρειο Πόλο, αν οι φίλοι κινηθούν κατά μήκος δύο μεσημβρινών (που είναι πάντα κάθετοι στον Ισημερινό). Κι εσείς, έτσι, δεν θα απαλλαγείτε ποτέ από τους δύο αντιπαθητικούς! Με βάση την εμπειρία μας από αμέτρητα ταξίδια πάνω στην επιφάνεια της Γης, αυτό το δεύτερο σενάριο είναι, φοβάμαι, το πιο πιθανό...

Επίσης, αν Γ είναι το σημείο τομής των τμημάτων ΑΓ και ΒΓ, καθένα εκ των οποίων είναι κάθετο στο ΑΒ, το τρίγωνο ΑΒΓ πάνω στη σφαίρα θα έχει δύο(!) ορθές γωνίες και, συνεπώς, το άθροισμα των γωνιών του θα είναι μεγαλύτερο από 180^ο (λέμε ότι η σφαίρα έχει θετική καμπυλότητα).

2. Σχηματίστε, στη συνέχεια, ένα τεράστιο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ πάνω στην επιφάνεια της Γης (με ορθή γωνία στο Α), φροντίζοντας ώστε οι δρόμοι που συνδέουν ανά δύο τα σημεία Α, Β, Γ να είναι οι συντομότεροι δυνατοί. Αν η Γη είναι επίπεδη, θα πρέπει να επαληθεύεται το πυθαγόρειο θεώρημα (1). Πράγμα που δεν θα ισχύει, βέβαια, αν η Γη είναι σφαίρα, αφού η επιφάνεια της σφαίρας είναι μη-ευκλείδειος χώρος. Σε μία τέτοια περίπτωση, στη θέση της ισότητας (1) θα έχουμε την ανισότητα

    (ΑΒ)² + (ΑΓ)² > (ΒΓ)²         (2)

Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα, παίρνοντας πληροφορίες, π.χ., από την Google: Αν βάλουμε στο Α τη Θεσσαλονίκη και στα Β και Γ τη Μαδρίτη και τη Ρίγα, αντίστοιχα, σχηματίζεται (κατά προσέγγιση) ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στο Α (όπως πριν) και πλευρές ίσες με

    ΑΒ (Θεσσαλονίκη - Μαδρίτη) = 2243 km ,

    ΑΓ (Θεσσαλονίκη - Ρίγα) = 1816 km ,

    ΒΓ (Μαδρίτη - Ρίγα) = 2712 km .

Έτσι, 

    (ΑΒ)² + (ΑΓ)² = 8,328,905  ενώ  (ΒΓ)² = 7,354,944.

Δηλαδή, η ανισότητα (2) φαίνεται να επαληθεύεται. Πράγμα που, όπως είπαμε, δεν μπορεί να ισχύει αν η Γη είναι επίπεδη.

Συμπέρασμα: Δυστυχώς για τους συνωμοσιολόγους, η Γη δεν μπορεί να είναι επίπεδη! Όπως δείχνουν οι μετρήσεις - αλλά και όπως μας βεβαιώνουν οι αστροναύτες - πρόκειται για σφαίρα (με κάποιες μικρές αποκλίσεις από το τέλεια σφαιρικό σχήμα).

Υ.Γ.  Για "μεγάλα παιδιά": Σε έναν ευκλείδειο χώρο n διαστάσεων είναι δυνατό να ορίσουμε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες x^k (k=1,2,...,n) τέτοιες ώστε η στοιχειώδης απόσταση ds ανάμεσα σε δύο γειτονικά σημεία να δίνεται από την έκφραση

    ds² = Σ_k (dx^k )²         (3)

όπου το Σ_k δηλώνει άθροισμα για k=1,2,...,n. [Η σχέση (3) εκφράζει το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα σε n διαστάσεις.] Αντίθετα, τέτοιες συντεταγμένες δεν είναι δυνατό να οριστούν στην επιφάνεια μιας σφαίρας. Αυτό εξηγεί γιατί δεν μπορούμε να "ξεδιπλώσουμε" ένα τμήμα μιας σφαιρικής επιφάνειας πάνω σε ένα επίπεδο. Η επιφάνεια της σφαίρας είναι ένας γνήσια καμπύλος χώρος, πράγμα που δεν ισχύει, π.χ., για τον κύλινδρο, του οποίου την καμπυλωτή επιφάνεια μπορούμε να κόψουμε και να ξεδιπλώσουμε στο επίπεδο. Έτσι, σε αντίθεση με τη σφαιρική επιφάνεια, πάνω σε μία κυλινδρική επιφάνεια μπορούν να οριστούν καρτεσιανές συντεταγμένες.

Μα, θα μου πείτε τώρα, γιατί πρέπει να μας απασχολεί μία μη-ευκλείδεια γεωμετρία που παραβιάζει τόσες "προφανείς" ιδιότητες του χώρου στον οποίο ζούμε; Διότι, σύμφωνα με την γενική θεωρία της σχετικότητας και την κοσμολογία, το ίδιο το Σύμπαν μπορεί να έχει αυτή τη γεωμετρία. Δηλαδή, αν ανάψετε έναν φακό και στείλετε το φως προς τον ουρανό - κι αν έχετε την υπομονή που απαιτείται - ύστερα από μερικά δισεκατομμύρια χρόνια το φως που στείλατε μπορεί να ξαναγυρίσει σε εσάς! Σαν να κάνει κάποιος μία κλειστή διαδρομή κατά μήκος του Ισημερινού, νομίζοντας πως κινείται πάντα σε ευθεία γραμμή...

Μαθηματική ανάλυση... express!

 Για πρώτη φορά στα τριαντα-τόσα χρόνια που διδάσκω Φυσική σε πρωτοετείς σπουδαστές θετικής κατεύθυνσης, αντιμετώπισα στο ξεκίνημα τούτης της ακαδημαϊκής χρονιάς ένα ζήτημα που, κυριολεκτικά, μου "έδεσε τα χέρια". Λόγω των προβλημάτων που δημιούργησε η πανδημία του Covid (και) στον χώρο της εκπαίδευσης, οι σπουδαστές που εισήλθαν στην Τριτοβάθμια δεν είχαν προλάβει να διδαχθούν στο Λύκειο το σύνολο των απαιτούμενων Μαθηματικών. Έτσι, οι πρωτοετείς μου μού δήλωσαν ορθά - κοφτά εξαρχής ότι δεν θα έπρεπε να χρησιμοποιώ ολοκληρωτικό λογισμό στη Μηχανική, αφού δεν γνώριζαν (πλην ελαχίστων) τι είναι το ολοκλήρωμα! Άντε τώρα να εξηγήσει ο δάσκαλος πώς υπολογίζουμε την ταχύτητα και τη θέση ενός κινητού αν γνωρίζουμε την επιτάχυνσή του (ή, το πεδίο δυνάμεων μέσα στο οποίο βρίσκεται). Και, άντε να εξηγήσω τι εννοούμε όταν λέμε ότι το έργο μιας δύναμης παρίσταται με επικαμπύλιο ολοκλήρωμα!

Επειδή - για να είμαι ειλικρινής - πάντα αντιμετώπιζα ζητήματα σχετικά με τα μαθηματικά προαπαιτούμενα του μαθήματός μου, ετοίμασα πριν λίγα χρόνια ένα εγχειρίδιο μαθηματικής ανάλυσης συναρτήσεων μίας μεταβλητής, προς χρήση πρωτοετών (κυρίως) σπουδαστών θετικής κατεύθυνσης που χρειάζονται ένα γρήγορο "φρεσκάρισμα" μαθηματικών εννοιών και μεθόδων. Παράλληλα, το εγχειρίδιο αυτό θα μπορούσε να χρησιμεύσει και ως πρακτικό συμπληρωματικό βοήθημα για το μάθημα των Μαθηματικών, έστω και αν δεν το χαρακτηρίζει η σχολαστική αυστηρότητα ενός τυπικού μαθηματικού συγγράμματος!

Μπορείτε να το δείτε ή να το κατεβάσετε εδώ:

https://eclass.hna.gr/modules/document/file.php/TOM6109/Math.%20Analysis.pdf

ΚΠ