Όταν ένα φυσικό σύστημα φαίνεται να αλλάζει, δύο πράγματα μπορεί να συμβαίνουν: το ίδιο το σύστημα μεταβαίνει από μία κατάσταση σε μία άλλη, ή, η ίδια κατάσταση του συστήματος θεωρείται από δύο διαφορετικές οπτικές γωνίες. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε μία "ενεργητική" θεώρηση της φυσικής κατάστασης, ενώ στη δεύτερη περίπτωση μία "παθητική" θεώρηση.
Στην περίπτωση ενός ευκλείδειου χώρου με καρτεσιανές συντεταγμένες, ένας παθητικός μετασχηματισμός που αντιστοιχεί σε αλλαγή καρτεσιανής βάσης (από μία ορθοκανονική βάση σε μία άλλη) είναι ορθογώνιος μετασχηματισμός. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός διατηρεί αναλλοίωτο το μέτρο ενός διανύσματος, καθώς και το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.
Ένας ενεργητικός μετασχηματισμός σε έναν διανυσματικό χώρο παράγεται με τη βοήθεια ενός γραμμικού τελεστή, ο οποίος παρίσταται με πίνακα σε μία δοσμένη βάση διανυσμάτων του χώρου. Μια αλλαγή βάσης, που οδηγεί σε διαφορετική αναπαράσταση μέσω πινάκων, ισοδυναμεί με παθητικό μετασχηματισμό στον χώρο.
Οι παραπάνω ιδέες βρίσκουν ευρύτατη εφαρμογή στην Κλασική Μηχανική, στη Σχετικότητα και στην Κβαντομηχανική.
Διαβάστε το άρθρο...
