Έλαβα χθες ένα πολύ ευγενικό mail από έναν φοιτητή στο Πανεπιστήμιο του Τέξας. Αφού με ευχαριστεί για τη δημοσίευση του άρθρου “Foundations of Newtonian Dynamics: An Axiomatic Approach for the Thinking Student”, λέγοντας πως του φάνηκε πολύ χρήσιμο και πως ελπίζει να ανήκει και ο ίδιος στους «σκεπτόμενους φοιτητές» του τίτλου, διατυπώνει ένα ερώτημα που αξίζει τον κόπο να παραθέσω, αφού αποτελεί ένα από τα πιο λεπτά σημεία της Νευτώνειας Μηχανικής.
Πριν απ’ όλα, δυο λόγια για το ίδιο το άρθρο: Πρόκειται για μια απόπειρα επαναδιατύπωσης (δεν θα τολμήσω να πω «αναθεώρησης») της αξιωματικής βάσης της Μηχανικής, έτσι ώστε η θεωρία να δομείται πάνω σε έναν ελάχιστο αριθμό ανεξάρτητων θεμελιωδών αρχών. Το συμπέρασμα είναι ότι οι Νόμοι του Νεύτωνα μπορούν να αντικατασταθούν από ένα διαφορετικό σετ δύο ανεξάρτητων αξιωμάτων, ως εξής:
Το πρώτο αξίωμα (Α.1) ενσωματώνει ταυτόχρονα την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς και την αρχή διατήρησης της ορμής για απομονωμένα συστήματα σωματιδίων. Το δεύτερο αξίωμα (Α.2) εκφράζει την αρχή της επαλληλίας για τις αλληλεπιδράσεις.
Ο Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα (Νόμος της Αδράνειας) προκύπτει ως πόρισμα του Α.1. Στη συνέχεια, ορίζεται η έννοια της δύναμης ως ρυθμού μεταβολής της ορμής ενός σωματιδίου (F=dp/dt), πράγμα που αντιστοιχεί στον λεγόμενο Δεύτερο «Νόμο» του Νεύτωνα. Με βάση το Α.2, μια σύνθετη αλληλεπίδραση ενός σωματιδίου με άλλα σωματίδια περιγράφεται από ένα διανυσματικό άθροισμα δυνάμεων. Τέλος, με χρήση των Α.1 και Α.2, αποδεικνύεται ο Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα (Νόμος Δράσης-Αντίδρασης).
Ένα παρόμοιο ερώτημα με αυτό του φοιτητή από το Τέξας απασχόλησε πολλούς μεγάλους Φυσικούς πριν από αυτόν, σε σχέση με τους ίδιους τους Νόμους του Νεύτωνα: Αφού, σύμφωνα με τον Δεύτερο Νόμο, το σύνολο των αλληλεπιδράσεων πάνω σε ένα σωματίδιο αντιπροσωπεύεται, ποσοτικά, από τη δύναμη F=dp/dt, στην περίπτωση ενός ελεύθερου σωματιδίου (που δεν υπόκειται σε αλληλεπιδράσεις) θα έχουμε ότι F=0, άρα dp/dt=0, άρα p=mv=σταθερό, άρα v=σταθερό. Δηλαδή, η ταχύτητα ενός ελεύθερου σωματιδίου είναι σταθερή. Μα, αυτό ακριβώς λέει ο Νόμος της Αδράνειας! Μήπως, λοιπόν, ο νόμος αυτός δεν είναι ένα ανεξάρτητο αξίωμα, αλλά απλά ένα πόρισμα του Δεύτερου Νόμου;
Λογικό το ερώτημα, όμως υπάρχει ένα λεπτό σημείο: Ποιος παρατηρητής δικαιούται να συμπεράνει ότι, αν η ορμή p του σωματιδίου είναι σταθερή, τότε το σωματίδιο είναι ελεύθερο αλληλεπιδράσεων; Απάντηση: Μόνο ένας Αδρανειακός παρατηρητής, που χρησιμοποιεί ένα Αδρανειακό σύστημα αναφοράς! Την ύπαρξη, ακριβώς, τέτοιων συστημάτων εγγυάται ο Νόμος της Αδράνειας. Χωρίς αυτόν, ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα θα καθίστατο απροσδιόριστος, αν όχι λανθασμένος, αφού θα φαινόταν ότι ισχύει για κάθε παρατηρητή γενικά, ανεξάρτητα από τη δυναμική του κατάσταση. Δηλαδή, ο Νόμος της Αδράνειας ορίζει το «τερέν» μέσα στο οποίο διατυπώνεται και ισχύει ο Δεύτερος Νόμος. Όπως έγραψα στον φοιτητή, εφαρμόζοντας τον Δεύτερο Νόμο χωρίς τον Πρώτο, θα ήταν σαν να παίζουμε ποδόσφαιρο χωρίς να διαθέτουμε γήπεδο ποδοσφαίρου!
Σημειώνω ότι το άρθρο βρίσκεται αναρτημένο και εδώ.
Επίσης, υπάρχει και σε ελληνική μετάφραση.
Παρατηρήσεις και σχόλια πάντα δεκτά!
Πριν απ’ όλα, δυο λόγια για το ίδιο το άρθρο: Πρόκειται για μια απόπειρα επαναδιατύπωσης (δεν θα τολμήσω να πω «αναθεώρησης») της αξιωματικής βάσης της Μηχανικής, έτσι ώστε η θεωρία να δομείται πάνω σε έναν ελάχιστο αριθμό ανεξάρτητων θεμελιωδών αρχών. Το συμπέρασμα είναι ότι οι Νόμοι του Νεύτωνα μπορούν να αντικατασταθούν από ένα διαφορετικό σετ δύο ανεξάρτητων αξιωμάτων, ως εξής:
Το πρώτο αξίωμα (Α.1) ενσωματώνει ταυτόχρονα την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς και την αρχή διατήρησης της ορμής για απομονωμένα συστήματα σωματιδίων. Το δεύτερο αξίωμα (Α.2) εκφράζει την αρχή της επαλληλίας για τις αλληλεπιδράσεις.
Ο Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα (Νόμος της Αδράνειας) προκύπτει ως πόρισμα του Α.1. Στη συνέχεια, ορίζεται η έννοια της δύναμης ως ρυθμού μεταβολής της ορμής ενός σωματιδίου (F=dp/dt), πράγμα που αντιστοιχεί στον λεγόμενο Δεύτερο «Νόμο» του Νεύτωνα. Με βάση το Α.2, μια σύνθετη αλληλεπίδραση ενός σωματιδίου με άλλα σωματίδια περιγράφεται από ένα διανυσματικό άθροισμα δυνάμεων. Τέλος, με χρήση των Α.1 και Α.2, αποδεικνύεται ο Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα (Νόμος Δράσης-Αντίδρασης).
Ένα παρόμοιο ερώτημα με αυτό του φοιτητή από το Τέξας απασχόλησε πολλούς μεγάλους Φυσικούς πριν από αυτόν, σε σχέση με τους ίδιους τους Νόμους του Νεύτωνα: Αφού, σύμφωνα με τον Δεύτερο Νόμο, το σύνολο των αλληλεπιδράσεων πάνω σε ένα σωματίδιο αντιπροσωπεύεται, ποσοτικά, από τη δύναμη F=dp/dt, στην περίπτωση ενός ελεύθερου σωματιδίου (που δεν υπόκειται σε αλληλεπιδράσεις) θα έχουμε ότι F=0, άρα dp/dt=0, άρα p=mv=σταθερό, άρα v=σταθερό. Δηλαδή, η ταχύτητα ενός ελεύθερου σωματιδίου είναι σταθερή. Μα, αυτό ακριβώς λέει ο Νόμος της Αδράνειας! Μήπως, λοιπόν, ο νόμος αυτός δεν είναι ένα ανεξάρτητο αξίωμα, αλλά απλά ένα πόρισμα του Δεύτερου Νόμου;
Λογικό το ερώτημα, όμως υπάρχει ένα λεπτό σημείο: Ποιος παρατηρητής δικαιούται να συμπεράνει ότι, αν η ορμή p του σωματιδίου είναι σταθερή, τότε το σωματίδιο είναι ελεύθερο αλληλεπιδράσεων; Απάντηση: Μόνο ένας Αδρανειακός παρατηρητής, που χρησιμοποιεί ένα Αδρανειακό σύστημα αναφοράς! Την ύπαρξη, ακριβώς, τέτοιων συστημάτων εγγυάται ο Νόμος της Αδράνειας. Χωρίς αυτόν, ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα θα καθίστατο απροσδιόριστος, αν όχι λανθασμένος, αφού θα φαινόταν ότι ισχύει για κάθε παρατηρητή γενικά, ανεξάρτητα από τη δυναμική του κατάσταση. Δηλαδή, ο Νόμος της Αδράνειας ορίζει το «τερέν» μέσα στο οποίο διατυπώνεται και ισχύει ο Δεύτερος Νόμος. Όπως έγραψα στον φοιτητή, εφαρμόζοντας τον Δεύτερο Νόμο χωρίς τον Πρώτο, θα ήταν σαν να παίζουμε ποδόσφαιρο χωρίς να διαθέτουμε γήπεδο ποδοσφαίρου!
Σημειώνω ότι το άρθρο βρίσκεται αναρτημένο και εδώ.
Επίσης, υπάρχει και σε ελληνική μετάφραση.
Παρατηρήσεις και σχόλια πάντα δεκτά!
