Galilean invariance of the work-energy theorem

Galileo Galilei (1564‐1642)

In Special Relativity, physical laws are required to assume the same mathematical form in all inertial frames of reference. In other words, the laws must be Lorentz-invariant.

In classical (Newtonian) Mechanics the Lorentz transformations reduce to the much simpler Galilean transformations. Under the latter, the laws of Mechanics (but not those of Electromagnetism!) are invariant in form in order for them to be valid in all inertial frames of reference.

Now, since Newton's laws are valid in all inertial frames, this must also be the case with regard to every theorem derived from them. Perhaps the most important such theorem (since it is associated with the conservation of energy) is the work-energy theorem. Here is now a good exercise for the Physics student: Let us assume that the work-energy theorem is valid for a certain inertial observer O. Can we show that this theorem will then be valid for any other inertial observer O΄?

The mathematical proof is not trivial! It may be given as a Physics project to the student.

See the article...

Έχουμε τελειώσει οριστικά με τον Νεύτωνα;

Στο εισαγωγικό μάθημα της κλασικής Μηχανικής, οι πρωτοετείς μου καταφέρνουν συχνά να με εντυπωσιάζουν. Έχοντας πρόσφατη την εμπειρία των Πανελλήνιων εξετάσεων και ζωντανές ακόμα στο μυαλό τους τις γνώσεις που αποκόμισαν από το φροντιστήριο, μπορούν να λύσουν τις πιο στρυφνές και απαιτητικές ασκήσεις με τόση ευκολία που, ομολογώ, κι εμένα με τρομάζει!

Από την άλλη, εισπράττω ενδιαφέρουσες απαντήσεις σε ερωτήματα εννοιολογικής φύσης. Για παράδειγμα, όταν ζητώ την διατύπωση του Νόμου της Αδράνειας με βάση τα όσα γνωρίζουν από το σχολείο, μερικοί μου απαντούν αόριστα ότι αφορά την αντίσταση των υλικών σωμάτων σε κάθε προσπάθεια μεταβολής της κινητικής τους κατάστασης. Όταν αντιλέγω ότι αυτό ορίζει τι είναι αδράνεια – ως γενική έννοια – αλλά δεν διατυπώνει τον νόμο που την αφορά, γίνονται πιο συγκεκριμένοι: «Κάθε σώμα έχει την τάση να διατηρεί την κινητική του κατάσταση αν πάνω του δεν ασκείται ολική δύναμη διάφορη του μηδενός.»

Ωραία, θα πείτε, μην τα βασανίζεις άλλο τα παιδιά, καλά σου τα είπαν τώρα! Όμως ο υποχόνδριος και ξενέρωτος δάσκαλος επιμένει: Κινητική κατάσταση ως προς τι; Και, σε σχέση με ποιους παρατηρητές; Όλους, γενικά, ή κάποιους με πολύ συγκεκριμένες ιδιότητες;

Είναι τότε η ώρα να μιλήσουμε για τον λεγόμενο αδρανειακό παρατηρητή. Κάποιον, δηλαδή, ως προς τον οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (ένα σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμα και ομαλά) είτε δεν κινείται καθόλου. Αυτός και μόνο αυτός έχει το δικαίωμα να χρησιμοποιεί στο δικό του σύστημα συντεταγμένων (αδρανειακό σύστημα αναφοράς) τους νόμους του Νεύτωνα (Isaac Newton, 1643–1727) και, ειδικά, τον Πρώτο Νόμο, αυτόν της Αδράνειας.

Βέβαια, δεν μπορεί κάποιος να απαιτήσει από παιδιά που μόλις τέλειωσαν το Λύκειο να έχουν απόλυτα ξεκαθαρίσει μέσα τους λεπτές έννοιες της Μηχανικής που έχουν φέρει σε δύσκολη θέση γενιές Φυσικών! Έννοιες που συνεχίζουν να προβληματίζουν τον σκεπτόμενο φοιτητή των θετικών επιστημών στα πιο μεγάλα πανεπιστήμια του κόσμου...

Γράμμα από έναν Αμερικανό φοιτητή

Πριν κάπου τρία χρόνια έλαβα ένα email από έναν ιδιαίτερα ευφυή και φιλομαθή φοιτητή θετικών επιστημών σε Πανεπιστήμιο του Τέξας. Έχοντας διαβάσει κάποιο δημοσιευμένο παιδαγωγικό άρθρο μου πάνω στη Νευτώνεια Μηχανική [1,2] απευθύνθηκε σε εμένα με ένα σχεδόν εναγώνιο ερώτημα: Είναι οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα αληθινά ανεξάρτητοι μεταξύ τους, ή μήπως ο πρώτος νόμος δεν είναι παρά ειδική περίπτωση του δεύτερου;

Σε κάποιους Φυσικούς, ιδιαίτερα αυτούς που διδάσκουν κλασική Μηχανική, το ερώτημα ίσως φαίνεται στοιχειώδες. Σπεύδω, εν τούτοις, να σημειώσω ότι το ζήτημα της ανεξαρτησίας των Νευτώνειων νόμων έχει προκαλέσει μεγάλη σύγχυση από την εποχή ακόμα του Νεύτωνα. Μάλιστα, έτυχε πρόσφατα να διαβάσω εκπαιδευτικό άρθρο σε κάποιο πανεπιστημιακό site του εξωτερικού, το οποίο άρθρο μεταξύ άλλων ανέφερε ότι ο νόμος της αδράνειας (ο πρώτος νόμος) είναι άμεση συνεπαγωγή του δεύτερου νόμου. Ο καλός φοιτητής, λοιπόν, απλά έπεσε θύμα της παραπάνω σύγχυσης που, ως φαίνεται, καλά κρατεί!

Του απάντησα αμέσως εξηγώντας του ότι, χωρίς τον πρώτο νόμο, ο δεύτερος θα έχανε τη σημασία του. Ή μάλλον, θα ήταν εντελώς λανθασμένος στη διατύπωσή του, αφού θα έδινε την εντύπωση μιας γενικής αρχής που ισχύει ανεξάρτητα από την κινητική κατάσταση του παρατηρητή, πράγμα που ασφαλώς δεν ισχύει. Με άλλα λόγια, ο νόμος της αδράνειας ορίζει το «τερέν» μέσα στο οποίο διατυπώνεται και ισχύει ο δεύτερος νόμος. Όπως έγραψα στον φοιτητή, το να εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη τον πρώτο είναι σαν να επιχειρούμε να παίξουμε ποδόσφαιρο χωρίς να διαθέτουμε γήπεδο ποδοσφαίρου!

Ο νόμος της αδράνειας, λοιπόν, δεν είναι απόρροια αλλά, κατά κάποιον τρόπο, προϋπόθεση ισχύος του δεύτερου νόμου. Τα ερωτήματα όμως δεν σταματούν εδώ: Ακόμα κι αν δεχθούμε την ανεξαρτησία των νόμων του Νεύτωνα μεταξύ τους, είναι το σύστημα των τριών αυτών νόμων επαρκές ως βάση για την ανάπτυξη της κλασικής θεωρίας;

Πριν προχωρήσουμε, ας δούμε τους νόμους συνοπτικά...

Οι Νόμοι του Νεύτωνα, όπως τους ξέρουμε

Ο Πρώτος Νόμος (νόμος της αδράνειας) εγγυάται την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Ως τέτοιο σύστημα εννοούμε ένα σύστημα συντεταγμένων ως προς το οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) κινείται με σταθερή ταχύτητα (ή, ισοδύναμα, χωρίς επιτάχυνση).

Ο Δεύτερος Νόμος ορίζει ότι, ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η επιτάχυνση ενός σωματιδίου είναι ανάλογη της ολικής δύναμης που ασκείται πάνω του.

Σύμφωνα με τον Τρίτο Νόμο ή νόμο δράσης-αντίδρασης, όταν δύο σωματίδια αλληλεπιδρούν, οι δυνάμεις που ασκεί το ένα στο άλλο είναι ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης.

Όμως, ποια είναι η «ολική δύναμη» πάνω σε ένα σωμάτιο, στην οποία αναφέρεται ο δεύτερος νόμος; Αυτό δεν μας το λένε οι νόμοι του Νεύτωνα! Την απάντηση έδωσε ο Ελβετός φυσικομαθηματικός Ντάνιελ Μπερνούλι (Daniel Bernoulli, 1700–1782) μετά τον θάνατο του Νεύτωνα, διατυπώνοντας την αρχή της επαλληλίας. Σύμφωνα με αυτήν, αν ένα σώμα υπόκειται σε διάφορες αλληλεπιδράσεις, η ολική δύναμη πάνω του είναι το (διανυσματικό) άθροισμα των δυνάμεων από κάθε αλληλεπίδραση χωριστά.

Μια εναλλακτική αξιωματική θεώρηση

Με βάση όσα είπαμε παραπάνω, η κλασική Νευτώνεια Μηχανική βασίζεται σε τέσσερις θεμελιώδεις αρχές: τους τρεις νόμος του Νεύτωνα και την αρχή της επαλληλίας. Σχετικά πρόσφατα, όμως [1,2] τέθηκε και πάλι ένα αναθεωρητικό ερώτημα: Μήπως, τελικά, τέσσερις νόμοι είναι «πάρα πολλοί»; Αυτό οδήγησε στο, ας το πούμε, ανακάτεμα και ξαναμοίρασμα της τράπουλας, με ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα: Με κατάλληλη διατύπωση, οι νόμοι της Μηχανικής μπορούν να συμπυκνωθούν στη μορφή δύο μόνο ανεξάρτητων αξιωμάτων. Προσοχή: Δεν πετούμε τους δύο από τους τέσσερις αρχικούς νόμους και κρατούμε τους άλλους δύο, αλλά αναδιατυπώνουμε την αξιωματική βάση της Μηχανικής με τρόπο ώστε οι ανεξάρτητες αρχές να είναι δύο αντί τέσσερις. Φυσικά, από τα δύο θεμελιώδη αξιώματα προκύπτουν, μεταξύ άλλων, ως ειδικά συμπεράσματα οι γνωστοί νόμοι της Νευτώνειας Μηχανικής.

Το πρώτο αξίωμα (θα το ονομάσουμε Α1), το οποίο στη Νευτώνεια Μηχανική προκύπτει από τους βασικούς νόμους ως παράγωγο θεώρημα, λαμβάνεται εδώ ως θεμελιώδης αρχή. Εκφράζει την αρχή διατήρησης της ορμής για ένα απομονωμένο σύστημα σωματιδίων και, έμμεσα, αξιώνει την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Στην ειδική περίπτωση απομονωμένου «συστήματος» που περιέχει ένα μόνο σωματίδιο, το αξίωμα Α1 ανάγεται στον νόμο της αδράνειας (πρώτο νόμο του Νεύτωνα).

Το δεύτερο αξίωμα (Α2) το γνωρίσαμε ήδη: είναι η αρχή της επαλληλίας, διατυπωμένη όμως λίγο διαφορετικά: Η μεταβολή της ορμής που προκαλεί σε ένα σωματίδιο ένα σύνολο αλληλεπιδράσεων, είναι ίση με το (διανυσματικό) άθροισμα των μεταβολών που θα προκαλούσε κάθε αλληλεπίδραση χωριστά.

Αν προσέξατε, μέχρι στιγμής πουθενά δεν εμφανίζεται η έννοια της δύναμης, η οποία αποτελεί την πεμπτουσία του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα! Αυτό συμβαίνει διότι η δύναμη ορίζεται εδώ απλά ως ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Με τον ορισμό αυτό, το αξίωμα Α2 οδηγεί στην κλασική διατύπωση της αρχής της επαλληλίας που, όπως είπαμε νωρίτερα, οφείλεται στον Μπερνούλι.

Χρησιμοποιώντας τώρα τα αξιώματα Α1 και Α2, καθώς και τον ορισμό της δύναμης, μπορούμε να αποδείξουμε ως θεώρημα κάτι που στη Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί αξίωμα: τον νόμο δράσης-αντίδρασης (τρίτο νόμο του Νεύτωνα). Άλλα σημαντικά θεωρήματα που μπορεί να αποδειχθούν είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής, το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας, η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, κλπ.

Προβλήματα που παραμένουν...

Η οικονομικότερη αναδιατύπωση της αξιωματικής βάσης της Νευτώνειας Μηχανικής δεν απαλλάσσει, βέβαια, την κλασική θεωρία από τα εγγενή προβλήματά της. Πρώτα και κύρια, η θεωρία αυτή παύει να ισχύει σε έναν κόσμο πολύ υψηλών ταχυτήτων ή πολύ μικροσκοπικών διαστάσεων, δίνοντας τη θέση της στη Θεωρία της Σχετικότητας και την Κβαντική Θεωρία, αντίστοιχα. Υπάρχουν όμως προβλήματα ακόμα και στις συμβατικές περιοχές εφαρμογής της κλασικής θεωρίας. Ας δούμε τα κατά τη γνώμη μου πιο σημαντικά:

1. Το πρόβλημα των «αδρανειακών» συστημάτων αναφοράς

Απόλυτα αδρανειακά συστήματα αναφοράς δεν είναι δυνατό να υπάρχουν. Πράγματι, για να διαπιστώσουμε αν ένα σύστημα αναφοράς είναι αδρανειακό θα πρέπει να εξετάσουμε αν, ως προς αυτό, ένα οποιοδήποτε ελεύθερο σωμάτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα (δηλαδή, χωρίς επιτάχυνση). Όμως, η έννοια του ελεύθερου σωματίου είναι καθαρά θεωρητική και κανένα σωμάτιο στον κόσμο δεν μπορεί στην πραγματικότητα να θεωρείται ελεύθερο, για τους εξής λόγους: (α) Κάθε υλικό σωμάτιο υπόκειται στη δύναμη της βαρύτητας που του ασκεί ο υπόλοιπος υλικός κόσμος, όσο μακριά κι αν βρίσκεται το σωμάτιο από αυτόν. (β) Για να διαπιστώσουμε αν ένα σωμάτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα, θα πρέπει κάπως να αλληλεπιδράσουμε μαζί του (π.χ., να το φωτίσουμε ρίχνοντας πάνω του έναν ικανό αριθμό φωτονίων). Έτσι, στη διάρκεια της αλληλεπίδρασης το σωμάτιο δεν μπορεί πλέον να θεωρείται ελεύθερο.

2. Το πρόβλημα του ταυτόχρονου

Στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα (ο οποίος, όπως προαναφέραμε, προκύπτει ως θεώρημα στη δική μας προσέγγιση) η αντίδραση θεωρείται ότι λαμβάνει χώρα ταυτόχρονα με τη δράση. Αυτό σημαίνει ότι δύο σωματίδια αλληλεπιδρούν στιγμιαία μεταξύ τους, όσο μακριά κι αν βρίσκεται το ένα από το άλλο, πράγμα που προϋποθέτει άπειρη ταχύτητα διάδοσης της αλληλεπίδρασης. Όπως γνωρίζουμε, όμως, καμία αλληλεπίδραση δεν διαδίδεται ταχύτερα από το ίδιο το φως!

Ένα επιπρόσθετο ζήτημα που είναι αναγκαίο να διευκρινίσουμε είναι το εξής: Σύμφωνα με την προσέγγισή μας, ένας «παρατηρητής» είναι, κατά κάποιον τρόπο, ένα ευφυές ελεύθερο σωμάτιο που έχει την ικανότητα να πραγματοποιεί μετρήσεις φυσικών μεγεθών όπως η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Ο παρατηρητής αυτός μπορεί να χρησιμοποιήσει για τις μετρήσεις του οποιοδήποτε βολικό (κατά προτίμηση ορθογώνιο) σύστημα αξόνων (x,y,z). Κατά συνθήκη, ο παρατηρητής βρίσκεται σταθερά τοποθετημένος στην αρχή Ο των συντεταγμένων αυτού του συστήματος αναφοράς, μπορεί όμως να προσανατολίσει τους άξονες του συστήματός του κατά βούληση. Τώρα, όπως προκύπτει ως πόρισμα από το αξίωμα Α1, δύο αδρανειακοί παρατηρητές δεν επιταχύνονται ο ένας ως προς τον άλλο. Έτσι, η σχετική ταχύτητα ανάμεσα στις αρχές Ο και Ο΄ των αξόνων τους είναι χρονικά σταθερή (σαν ειδική περίπτωση, τα σημεία Ο και Ο΄ μπορεί ακόμα και να ταυτίζονται). Όμως, τι γίνεται αν οι άξονες του ενός συστήματος περιστρέφονται ως προς τους άξονες του άλλου; Πώς θα γνωρίζουμε αν πράγματι κάποιος από τους δύο παρατηρητές είναι αδρανειακός; Η απάντηση είναι ότι, ως προς το σύστημα αξόνων ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς, ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν επιταχύνεται. Ειδικά, ως προς ένα περιστρεφόμενο σύστημα αξόνων, ένα ελεύθερο σωμάτιο θα εμφανίζεται να έχει τουλάχιστον κεντρομόλο επιτάχυνση (η επιτάχυνση αυτή σχετίζεται με την αλλαγή διεύθυνσης στην κίνηση του σωματίου). Ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς, επομένως, δεν μπορεί να είναι αδρανειακό.

Σημειώνουμε, τέλος, ότι ένα στερεό σώμα, όπως και ένα συνεχές μέσο (π.χ., ένα ρευστό), μπορούν να αντιμετωπιστούν σαν υλικά συστήματα αποτελούμενα από ένα τεράστιο πλήθος στοιχειωδών σωματιδίων. Έτσι, δεν απαιτούνται επιπρόσθετα αξιώματα για τη μελέτη τέτοιων σύνθετων συστημάτων.

Επίλογος

Αποτελούν τα όσα αναφέραμε την τελευταία λέξη πάνω στη Νευτώνεια Μηχανική; Και βέβαια όχι! Η φοβερή αυτή θεωρία παραμένει «ζωντανή» και επιδεκτική σε πιθανές νέες αναθεωρήσεις σε ό,τι αφορά την αξιωματική της θεμελίωση. Και, έστω κι αν η Σχετικότητα και η Κβαντομηχανική περιόρισαν το πεδίο εφαρμογής της, ας μην ξεχνούμε ότι η κλασική Μηχανική εξακολουθεί να κυβερνά την ίδια μας την καθημερινότητα. Εκεί που το πολύ γρήγορο και το πολύ μικρό αφορούν, στην καλύτερη περίπτωση, τα αυτοκίνητά μας και τα... ολοένα συρρικνούμενα εισοδήματά μας, αντίστοιχα. Ο Νεύτωνας στ’ αλήθεια ήρθε εδώ για να μείνει!

Αναφορές

C. J. Papachristou, Foundations of Newtonian Dynamics: An axiomatic approach for the thinking student

[1] Πρωτότυπη δημοσίευση:

Nausivios Chora, Vol. 4 (2012) 153-160

http://nausivios.snd.edu.gr/docs/partC2012.pdf

[2] Σε αναθεωρημένη και εμπλουτισμένη μορφή:

https://arxiv.org/abs/1205.2326

Aixmi.gr

Στα Άκρα - π. Φιλόθεος Φάρος (3 Ιουνίου 2018)

Για έναν δάσκαλο που, ίσως, δεν υπήρξε ποτέ…

Πάνε είκοσι χρόνια, τώρα, που έφυγε από τη ζωή ένας δάσκαλος. Δεν είχα ακούσει ποτέ το όνομά του (ήταν σε επιστημονικό πεδίο εντελώς διαφορετικό από το δικό μου) ως τη μέρα, πρόσφατα, που βρέθηκα τυχαία σε μία διάλεξη με θέμα την εκπαίδευση. Κι εκεί μίλησε γι’ αυτόν ένας πρώην φοιτητής του στο Πανεπιστήμιο. Με μεγάλο θαυμασμό και απέραντη αγάπη για τον δάσκαλο, όμως δίχως την παραμικρή ένδειξη θεοποίησης και ειδωλολατρίας. Γιατί, όπως τόνισε ο ομιλητής, ο δάσκαλος είναι πάνω απ’ όλα άνθρωπος. Με γήινες ατέλειες κι αδυναμίες...

Παραθέτω από μνήμης, με άτακτη σειρά, τα πιο σημαντικά πράγματα που άκουσα για τον άγνωστο σε εμένα δάσκαλο:

Όταν δίδασκε δεν έκανε ποτέ μονόλογο από την κορυφή του Ολύμπου. Έκανε διάλογο με τους μαθητές του και τους ενθάρρυνε να τον διακόπτουν, όχι μόνο για να τον ρωτούν αλλά και για να τον διορθώνουν. Τους ζητούσε να τον αμφισβητούν διαρκώς, όπως και να αποδέχονται πάντα την αμφισβήτηση στο πρόσωπό του απ’ όπου κι αν αυτή προέρχεται. «Όποιος μας αμφισβητεί δεν είναι εχθρός μας», έλεγε, «αλλά μια καλή ευκαιρία να επανεξετάσουμε τις βεβαιότητές μας για το αλάνθαστο του εαυτού μας»!

Το ακροατήριό του στο αμφιθέατρο δεν χρησίμευε σαν καθρέφτης για να αυτοθαυμάζεται, δεν ήταν μέσο για να τροφοδοτεί τον – ούτως ή άλλως ανύπαρκτο – ναρκισσισμό του. Ήταν όμως καθρέφτης για να αυτοκρίνεται, να αναγνωρίζει τις ατέλειές του και να βελτιώνεται σαν δάσκαλος και σαν άνθρωπος. Επιζητούσε και απολάμβανε την εκτίμηση και την αγάπη των μαθητών του, δεν τους επέτρεψε όμως ποτέ να γίνουν οπαδοί του διολισθαίνοντας στην προσωπολατρία. Και, για να αποτρέψει τούτο το ενδεχόμενο, δεν έκανε τον εαυτό του να φαντάζει στα μάτια τους σαν ιδανικό και αξεπέραστο πρότυπο, αφού συνειδητά δεν έκρυβε από αυτούς τις ανθρώπινες αδυναμίες του.

Ήταν βαθιά και ουσιαστικά ταπεινόφρων, δεν δίδασκε απλά τη σημασία της ταπεινοφροσύνης χωρίς να τη βιώνει μέσα του. Ο στόμφος και η οίηση απουσίαζαν ολότελα από τον λόγο του. Αν και ευρυμαθής, δεν επιδιδόταν σε επίδειξη των γνώσεών του με σκοπό να εντυπωσιάσει το ακροατήριό του. Συχνά μάλιστα καμωνόταν πως δεν γνώριζε κάτι και οδηγούσε με τρόπο τους μαθητές του να το ανακαλύψουν μόνοι τους, λέγοντάς τους στο τέλος πως αποτελούσε γνώση που ήδη κατείχαν μέσα τους μα δεν γνώριζαν εξαρχής πως την κατείχαν! Πίστευε και δίδασκε πως στον πυρήνα της μάθησης βρίσκεται η αυτογνωσία. Το «γνώθι σαυτόν» ήταν το σταθερό παιδαγωγικό του αξίωμα.

Πίστευε επίσης πως το καλό μνημονικό μικρή αξία έχει μπροστά στην ορθή κρίση και τη διάθεση για αναζήτηση. Ο επιστήμων και δάσκαλος, έλεγε, δεν είναι μία απέραντη αποθήκη ονομάτων, χρονολογιών και δεδομένων αλλά ένας νους που μεθοδικά αναζητά την αλήθεια, την αξιολογεί, την οργανώνει, την καταγράφει, και στο τέλος τη μεταλαμπαδεύει στους μαθητές του με τρόπο τόσο απλό και κατανοητό που η αλήθεια αυτή να μοιάζει αυτονόητη.

Δίδαξε στους μαθητές του την αξία της ζωής και τους εμφύσησε την αγάπη γι’ αυτήν. Έλεγε πως ακόμα και ένας δοξασμένος θάνατος μικρή σημασία έχει αν πίσω του δεν αφήσει μία προσωπική πορεία βιωμένη στην πληρότητά της ως την τελευταία στιγμή. «Ζούμε για να ανακαλύπτουμε συνεχώς πόσο ψηλότερα μπορεί να φτάσει η συνειδητότητά μας», έλεγε, «όχι για να προετοιμάσουμε επιμελώς το τέλος μας τη στιγμή που δεν θα αντέχουμε άλλο το βάρος της ύπαρξής μας»!

«Έφυγε» ταπεινά κι αθόρυβα, έτσι όπως έζησε. Όχι ως ισχυρός, αλλά με βαθιά επίγνωση του πεπερασμένου της ύπαρξής του. Ούτε όμως κι έρημος, αφού δεν ανέβηκε ποτέ σε μοναχικές βουνοκορφές για να βλέπει τους άλλους από ψηλά, σαν να ήταν επίγειος θεός. Ο θάνατός του δεν αποτέλεσε πρώτο θέμα στα media, δεν έγινε ιστορία μυστηρίου κι ούτε θρύλος που στοίχειωσε τη λαϊκή φαντασία. Άφησε πίσω του κληρονόμους και συνεχιστές της σκέψης του, όχι στενόμυαλους, σκληροπυρηνικούς και μισαλλόδοξους οπαδούς. Και άφησε τις φοιτήτριές του με τη γλυκιά ανάμνηση ενός σεμνού δασκάλου, όχι με αίσθημα οιονεί χηρείας για την απώλεια κάποιου αυτάρεσκου εν δυνάμει εραστή...

Το τέλος της διάλεξης με βρήκε να αμφιβάλλω κατά πόσον αυτές οι ιδιότητες θα μπορούσαν πράγματι να αντιστοιχούν σε υπαρκτό πρόσωπο στον ακαδημαϊκό χώρο. Άραγε, μήπως ο δάσκαλος αυτός δεν ήταν παρά δημιούργημα της φαντασίας του ομιλητή, κάποιος που θα ‘θελε να είχε συναντήσει στα πανεπιστημιακά αμφιθέατρα μα δεν το αξιώθηκε ποτέ; Ή μήπως είχε υπάρξει, όχι όμως στον κόσμο τούτο αλλά σε ένα Σύμπαν αντιύλης όπου τα αρνητικά γίνονται θετικά και τα δεξιόστροφα αριστερόστροφα;

Μη θέλοντας, εν τούτοις, να καταστρέψω τη μαγεία που είχα βιώσει, αποφάσισα να μην καταφύγω σε μηχανές αναζήτησης στο Διαδίκτυο ενώ απέφυγα και να κάνω διερευνητικές ερωτήσεις στον βιβλιοπώλη μου. Εξ άλλου, τι κι αν ο δάσκαλος αυτός δεν είχε, τελικά, υπάρξει; Και τι θα απέκλειε το ενδεχόμενο να εμφανιστεί άξαφνα μια μέρα ένας σαν αυτόν σε κάποια αίθουσα διδασκαλίας, τη στιγμή ακριβώς που κανείς πια δεν θα ανέμενε τον ερχομό του;

Βέβαια, έχουν περάσει αιώνες από τότε που ο τελευταίος δάσκαλος του είδους έφυγε από τη Γη, δηλώνοντας ως το τέλος ότι το μόνο που γνώριζε ήταν πως δεν γνώριζε τίποτα! Κάποιοι προσπάθησαν αργότερα να μιμηθούν το δικό του τέλος, πίνοντας ενδεχομένως παρόμοιο ποτό. Με μία διαφορά μόνο: εκείνοι γνώριζαν τα πάντα...

Aixmi.gr