Χρησιμοποιούμε συχνά την εκθετική συνάρτηση exp(x)=ex στις εφαρμοσμένες επιστήμες. Αν το x είναι ρητός αριθμός (π.χ., 3/2) δεν υπάρχει πρόβλημα στο να υψώσουμε το e στη δύναμη x. Όμως, πώς υψώνουμε το e (και κάθε θετικό πραγματικό αριθμό, γενικότερα) σε μία άρρητη δύναμη (που δεν είναι, δηλαδή, της μορφής m/n, όπου m, n ακέραιοι αριθμοί);
Όμως, υπάρχουν και άλλα ερωτήματα:
1. Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται με διάφορους τρόπους που, φαινομενικά, σε τίποτα δεν μοιάζουν μεταξύ τους:
- Σαν την αντίστροφη της λογαριθμικής συνάρτησης ln(x).
- Σαν το όριο μιας άπειρης ακολουθίας.
- Σαν άπειρη δυναμοσειρά.
- Σαν τη μόνη συνάρτηση που ισούται (ή, γενικότερα, είναι ανάλογη) με την παράγωγό της.
Γιατί οι ορισμοί αυτοί είναι ισοδύναμοι (δηλαδή, εκφράζουν την ίδια συνάρτηση);
2. Είναι οι συναρτήσεις {exp(kx)} γραμμικά ανεξάρτητες για διαφορετικές πραγματικές τιμές τού k; Αν ναι, πώς μπορούμε να το αποδείξουμε;
Για απαντήσεις στα πιο πάνω ερωτήματα, δείτε το παρακάτω παιδαγωγικό άρθρο:
